Encontrar as raízes de uma equação quadrática

2 métodos:

Usando a fórmula quadráticaEncontrar as raízes de fatoração

A equação quadrática é qualquer polinômio tendo como segue: ax + bx + c = 0, onde: a ≠ 0. Embora o título deste artigo pode parecer intimidante, na verdade não é. "Encontrar as raízes" é simplesmente o mesmo que encontrar o valor de "X" na equação. Qualquer equação quadrática pode ser resolvido com a seguinte fórmula: X = (-b +/- √ (b - 4ac)) / 2a. Além disso, existem vários truques que você pode usar para encontrar as raízes da equação depending`re tentando resolver.

método 1Usando a fórmula quadrática

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Escreva sua equação em forma quadrática. A definição oficial de uma equação quadrática é um polinômio de segunda ordem em uma única variável expressa "X", em que: para ≠ 0. Em termos simples, significa que é uma equação com uma única variável (que normalmente é "x") cuja potência máxima está 2. De um modo geral, podemos expressá-lo assim: ax + bx + c = 0

  • Para resolver uma equação quadrática em, realizamos todos os termos de um lado do sinal de igual (=) para alcançar zero no outro lado. Por exemplo, se você queria resolver a equação "2x + 8x = -5x - 11" quadrática, você pode fazer o seguinte:
  • 2x + 8x + 11 = -5x
  • 2x + + 8x 5x + 11 =
  • 2x + + 8x 5x - 11 = 0
  • 7x 8x + - 11 = 0 . Note-se que esta é a forma padrão (ax + bx + c = 0) que mencionamos acima.

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Substituir "a", "b" e "c" em: X = (-b +/- √ (b - 4ac)) / 2a. É fácil de encontrar as raízes de uma equação quadrática com a fórmula quadrática. Basta substituir "um", "b" e "c" na fórmula e encontrar o valor de "x". Uma vez que a forma de uma equação quadrática é ax + bx + c = 0, isso significa que o número ao lado do termo "X" é "um", o número ao lado do termo "x" é de "b", e o número sem um termo "x" é "C".

  • No seguinte equação: 7x 8x + - 11 = 0, a = 7, b = 8 e C = -11.
  • Nós substituir este na fórmula e obtê-lo X = (-8 +/- √ (8-4 (7) (- 11))) / 2 (7)

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Resolver a equação. Depois de ter substituído os valores de "a", "b" e "c" na fórmula, você só tem que executar operações algébricas básicas até que o símbolo "+/;". Nós examinar este símbolo no passo seguinte.

  • Continuando o exemplo anterior, resolvemos seguir:
  • X = (-8 +/- √ (8-4 (7) (- 11))) / 2 (7)
  • X = (-8 +/- √ (64 - (28) (- 11))) / (14)
  • X = (-8 +/- √ (64 - (-308))) / (14)
  • X = (-8 +/- √ (372)) / (14)
  • X = (-8 +/- 19,29 / (14) . Vamos sair daqui para continuá-lo na próxima etapa.

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Adição e subtração para que você obtenha dois respostas finais. Uma das coisas mais difíceis de encontrar as raízes de uma equação quadrática é que, geralmente, são obtidos duas respostas corretas (Se você está resolvendo equações que você deixou como lição de casa na escola, não se esqueça de incluir ambas as respostas de modo a obter mais pontos). Para ambos os valores de "X" as extremidades para resolver a equação adicionando em primeiro lugar e em seguida subtraindo.

  • Adicionando, obtemos:
  • X = (+ 19,29 -8) / (14)
  • x = 11,29 / 14
  • X = 0,81
  • E subtrair:
  • X = (-8 - 19,29) / (14)
  • X = (-27,29) / (14)
  • X = -1.95 .
  • Portanto, as nossas respostas são "0,81" e "-1.95".

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Confira suas respostas. Se você tiver tempo, seria bom que você verifique as raízes de sua equação uma vez que você encontrou. Dada a resolver uma equação quadrática envolve fazer uma longa série de operações matemáticas, é muito fácil cometer erros simples que podem alterar suas respostas. Felizmente, temos métodos de verificação simples que irá revelar a você, se você tem as raízes corretas.

  • A maneira mais rápida e mais fácil de verificar suas respostas é simplesmente colocando os valores de "a", "b" e "c" em um programa de respostas automáticas para equações de segundo grau. Você pode facilmente encontrar estes programas on-line. Por exemplo, aqui deixamos um dos mathisfun.com.

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Alternativamente, verifique as suas respostas manualmente. Se você se encontra em uma situação onde você não pode usar uma ferramenta virtual para conferir suas respostas, você pode fazê-lo manualmente. Substituir "x" com suas respostas na equação original. Se a sua equação é zero (ou muito próximo de zero, o que geralmente é devido a arredondamentos), então você tem as raízes corretas.

  • Vamos substituir x com as nossas respostas na equação 7x + 8x - 11 = 0 para verificar se eles estão corretos:
  • 7 (-1,95) + 8 (-1,95) - 11
  • 26.62 - 15,6-11
  • 26,62-26,5 = 0,02 Este resultado é muito próximo de zero, então a diferença é provavelmente devido ao arredondamento e não é uma resposta incorreta.
  • 7 (0,81) + 8 (0,81) - 11
  • 4,59 + 6,48-11 = 0,07 Este resultado é semelhante ao anterior, de modo que nossas respostas são mais susceptíveis correta.



método 2Encontrar as raízes de fatoração

Fatoração com um valor "para" igual a 1

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Ela começa com uma equação quadrática em. Embora as linhas acima descritos possuem a fórmula quadrática como um instrumento valioso, não é a única maneira de resolver equações quadráticas. Por exemplo, algumas podem ser equações quadráticas fatorizar, implicando reescrevê-los de uma forma que o retorno mais fácil de resolver. No entanto, você deve escrever sua equação na forma quadrática padrão: ax + bx + c = 0.

  • Nesta seção, só vai trabalhar com equações do segundo grau com uma variável "para" igual a "1". Quando a variável "a" não é igual a "1", o processo é um pouco mais difícil (ver abaixo). Para esta parte, vamos usar o exemplo a seguir: x + 7x + 12 = 0. Nos passos seguintes, vamos levar e resolver esta equação.

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Defina sua equação como segue: (X + _) (x + _) = 0. o "fatoração" é apenas um termo que significa "encontrar os valores que são multiplicados juntos para dar-lhe um resultado diferente". Neste caso, estamos a tentar dividir nossa equação quadrática entre seus fatores. Uma vez que o termo "x" com o maior poder é "X" (Ou, por outras palavras, X x x), vamos começar, definindo a forma da equação factorizada do seguinte modo: (x + _) (x + _) = 0.

  • Dez espaços em branco em conta. Nos passos seguintes, vamos preencher esses espaços para completar a equação consignado.

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Localizar termo fatores "c". Em seguida, faça uma lista de todos os números que, quando multiplicados juntos, resultam no valor do termo "c" da equação quadrática. Estes são os factores.

  • Na nossa equação (x + 7x + 12 = 0), o termo "C" é 12. Os números podem ser multiplicado para se obterem 12 são 1 e 12, 2 e 6, e 3 e 4. Isto significa que os factores 12 são os seguintes: 1, 2, 3, 4, 6, e 12.

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Localizar a dois factores de "c", cuja soma é igual ao valor do termo "b". Da sua lista de fatores que o termo "c", escolha os dois cujas soma é igual ao valor do termo de "b". Você esclarecer que você não está olhando para os fatores do termo "b", apenas dois números que, juntos, somam o mesmo valor do termo "b".

  • Na nossa equação (x + 7x + 12 = 0), o termo "b" é 7. A lista dos factores de "c" é a seguinte: 1, 2, 3, 4, 6 e 12. O 3 e ele 4 Acrescentam-se a 7, assim que estes são os números que buscamos.
  • se não havia dois números sobre esta lista que juntos somam 7 poderia dizer que a equação é "irredutíveis sobre os inteiros". Para os nossos propósitos, isso basicamente significa que você não pode levar a equação e nós temos que usar outro método para encontrar as raízes.

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Preencher as lacunas de sua equação consignado. Agora, você só tem que preencher os espaços em branco da equação em forma fatorada com os dois números que basta escolher a partir da lista de fatores. Isso lhe dá a forma fatorada da equação de segundo grau de origem.

  • Preencha os espaços em branco: (X + 3) (X + 4) = 0.

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Encontrar os dois valores "X". Agora, tudo que você tem que fazer para encontrar as raízes da equação original é colocar os termos em cada suporte, o que equivale a zero, para encontrar o valor de "x". Uma vez que os termos em parênteses são multiplicados juntos, se um deles for zero, a equação inteira também será. Portanto, as raízes das equações são os valores de "X", fazendo com que cada conjunto de termos em parênteses é zero.

  • No nosso exemplo, os termos entre parênteses são "(x + 3)" e "(X + 4)". Se cada um igual a zero, obtemos a seguinte:
  • x + 3 = 0- X = -3
  • x + 4 = 0- x = -4
  • Por favor, note que podemos verificar ambos os resultados exatamente como faríamos se tivéssemos usado a fórmula quadrática.

Fatoração com um valor "para" ≠ 1

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Divida o termo "para" entre seus fatores. Se o termo "a" em uma equação quadrática não é igual a um, é um pouco mais difícil de incluir, mas não impossível. Inicia-se dividindo o termo "um" entre os seus factores. Porque existe uma "X" o termo "um", ambos os factores conter "x".

  • Nesta seção, vamos usar o exemplo a seguir: 2x + 14x + 12 = 0. Neste caso, "2x" É nosso termo "um". Desde 2 é um número primo, seus únicos fatores são 2 e 1. Para os nossos propósitos, isso significa que os fatores "2x" eles são "2x" e "X".
  • Note que existem casos em que há mais de dois fatores para o termo "a". Por exemplo, se fosse "8x", Iria "8x" e "x" mais "2x" e "4x". Neste caso, é preciso verificar tanto para encontrar o conjunto que se encaixa.

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Define a equação consignado da seguinte forma: ((Fator 1) + _) ((factor 2) + _). Vamos começar factoring em quase exatamente da mesma forma que na seção anterior. Mas desta vez, pelo menos, um de nossos termos "X" terá um coeficiente seguinte (às vezes, ambos tendrán- isso depende dos fatores que têm dividido o termo "a").

  • No nosso exemplo, vamos definir nossa equação da seguinte forma: (2x + _) (x + _).

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Encontrar fatores termo "c". Esta parte é exactamente o mesmo que o da secção anterior. Pesquisar os números multiplicados juntos dar-lhe o valor de "c".

  • No nosso exemplo, uma vez que o nosso termo "c" ainda é 12 nossa lista de fatores é o mesmo: 1, 2, 3, 4, 6, e 12.

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Encontre dois números na lista para lhe dar como resultado o valor do termo "b". Esta é a parte mais difícil. É necessário escolher dois números para ser substituído, sob a forma da equação consignado, irá resultar na expressão "b" na equação de segundo grau de origem. No entanto, note que desta vez não só tem dois "x" na forma fatorada da equação, mas têm pelo menos um termo "x" com um coeficiente.

  • No nosso exemplo, o termo "b" é "14x". Isto significa que devemos encontrar dois números da lista de fatores "c" que multiplicando um por "2x" eo outro "x" nos dá um total de "14x".
  • Veja os nossos factores anteriores: 3 e 4. 3 × 2x = 6x, 4 × x = 4x. 4x + = 6x 10x. Ele não funciona, então vamos dar a volta. 4 x 2x = 8x, 3 × x = 3x. 8x + 3x = 11x. Em qualquer operação temos 14x, então esse conjunto de fatores está incorreto.
  • Agora, nós fazer o mesmo com 6 e 6 x 2 x 2 = 12x, 2 × x = 2x. 12x + 2x = 14x. Bingo! Nós vamos usar o 6 e 2 para preencher os espaços em branco de nossa equação consignado.

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Preencher as lacunas e encontrar o valor de "x" como você faz normalmente. Agora, use os dois fatores que você acabou de encontrar para preencher os espaços em branco da equação consignado. Note que você precisa colocar cada um no espaço certo para que quando multiplicado por "x" para obter a palavra "b" correto. Então, acabamento definir cada conjunto entre parênteses que corresponde a zero, e resolvê-los como fizemos antes.

  • Neste caso, a equação seria: (2x + 2) (x + 6) = 0. Iguala cada suporte para zero de modo a obter:
  • 2x + 2 = 0
  • 2x = -2 - X = -1
  • x + 6 = 0 - X = -6

dicas

  • Lembre-se que uma raiz quadrada pode ser tanto positivo como negativo. Não caia na armadilha de escrever uma única resposta quando deve haver dois.
  • Note-se que, para resolver algumas equações quadráticas, há um método conhecido como avançado "completar o quadrado". Você vai encontrar um guia completo o nosso artigo sobre este tema.
  • Acredite ou não, o método de factoring e completar o quadrado são apenas duas maneiras de resolver equações complicadas usando a fórmula quadrática. revisão nosso artigo sobre como obter a fórmula quadrática para que você possa fazer uma boa decomposição, mas tenha cuidado porque as coisas ficam muito complicadas.

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