Resolução de equações trigonométricas: 8 etapas

Uma equação trigonométrica é uma equação que contém uma ou mais funções trigonométricas do arco variável X trigonométrico. Clear "X" significa encontrar os valores dos arcos trigonométricas, cujas funções trigonométricas fazer a equação trigonométrica está correto.

As respostas, ou solução de valores arcos, expressa em graus ou radianos. Exemplos:

x = Pi / 3 x = 5Pi / 6 x = 3pi / 2 x = x = 37,12⁰- 45⁰- x = 178,37⁰

Nota: no círculo ou unidade círculo trigonométricas, funções trigonométricas de qualquer arco são as mesmas funções trigonométricas ângulo correspondentes. O círculo unitário define todas as funções trigonométricas de variável arc x. Além disso, ele usa como prova na resolução de equações trigonométricas e desigualdades básica.
Exemplos de equações trigonométricas:

sen x + sin 2x = 1 / 2- tg x = x + COTG 1732;
cos 2x sin 3x + = cos 2 2x sin + cos x-x = 1.

O círculo unitário.
É um círculo com um raio = 1 unidade e O como uma fonte. O círculo unitário define 4 arco principal variável funções trigonométricas x que gira anti-horário na mesma.
Quando o arco com valor x varia no círculo unitário:
O OAX eixo horizontal define a função trigonométrica f (x) = cos x.
O eixo vertical Oby define a função trigonométrica f (x) = seno x.
O eixo vertical define pelo trigonométrica função f (x) = x TG.
O eixo horizontal define BU função trigonométrica (x) = f x COTG.

O círculo unidade também usada para resolver equações e inequações trigonométricas de base, tendo em conta as diferentes posições do arco x neste círculo.

passos

Conhecer o conceito de resolução.

Para resolver uma equação trigonométrica, transformá-lo em uma ou várias equações trigonométricas básicas. Finalmente, a resolução de equações trigonométricas resulta na resolução de 4 tipos de equações trigonométricas básicas.

Sabe como resolver equações trigonométricas básicas.

Existem 4 tipos de equações trigonométricas básicas:
sin x = a - cos x = a
TG X = a - x = um COTG
procedimentos de resolução de equações trigonométricas básicas, estudando diferentes posições de arco x no círculo unitário e usando a tabela de conversão trigonométricas ou calculadora. Para conhecer plenamente como resolver estas equações trigonométricas básicas e afins, leia o livro intitulado: "Trigonometria: Resolvendo equações trigonométricas e desigualdades" ("Trig: resolver equações e inequações trigonométricas") (Amazon E-book 2010).
exemplo 1: X = 0,866 sen resolvido. A tabela de conversão ou calculadora dá x = Pi / 3 em resposta. O círculo unitário dá outro arco (2Pi / 3) que tem o mesmo valor do seno (0,866). Além disso, o círculo unitário dá um número infinito de respostas que são chamadas soluções prolongados.
x1 = Pi / 3 + 2k.Pi, e x2 = 2Pi / 3 (soluções no intervalo (0, 2Pi))
x1 = pi / 3 + 2k Pi, e x2 = 2Pi / 3 + 2k Pi (soluções estendidos)
exemplo 2: Resolve: cos x = -1/2. O calculador dá x = 2 pi / 3 como um resultado. O círculo unitário dá outro resultado x = -2Pi / 3.
x1 = 2Pi / 3 + 2k.Pi, e x2 = - 2Pi / 3 (soluções no intervalo (0, 2Pi))
x1 = 2Pi / 3 + 2k Pi, e x2 = -2Pi / 3 + 2k.Pi (soluções estendidos)
exemplo 3: Resolve: tg (x - Pi / 4) = 0.
x = Pi / 4- (solução)
x = Pi / 4 + k Pi- (soluções estendidos)
exemplo 4: COTG resolver 2x = 1,732. A calculadora e do círculo unitário resultará COTG 2x = 1.732.
x = Pi / 12- (solução)
x = Pi / Pi-12 + k (soluções estendidas)

Saiba o transformações Eles usaram para resolver equações trigonométricas.

Para transformar uma equação trigonométrica dada em uma trigonometria básica, usando transformações comuns algébricas (fatoração, fator comum, as identidades polinomiais ...), definições e propriedades das funções trigonométricas e identidades trigonométricas. Há cerca de 31, dos quais os últimos 14 identidades trigonométricas, de 19 a 31 são chamados de identidades de transformação tal como utilizado na transformação de equações trigonométricas. Leia o livro mencionado acima.
exemplo 5: A equação trigonométrica: sen x + sin 2x + sen 3x = 0 pode ser transformado num produto de equações trigonométricas básicas utilizando identidades trigonométricas: 4cos x * sen (3x / 2) * cos (x / 2) = 0 . As equações trigonométricas básicas são resolvidos lá: cos x = 0 - sin (3x / 2) = 0 - e cos (x / 2) = 0.

arcos Halla cujas funções trigonométricas são conhecidos.

Antes de aprender a resolver equações trigonométricas, você deve saber como encontrar rapidamente os arcos cujas funções trigonométricas são conhecidos. tabelas trigonométricas e calculadoras dão valores de conversão de arcos e ângulos.
exemplo: Depois de resolver, você tem x = 0,732 cos. Calculadoras dar a solução arc x = 42,95⁰. Os arcos de círculo unitário dar outra solução com o mesmo valor de co-seno.

Grafica arcos solução no círculo unitário.

Você pode representar graficamente ou ilustrar solução arcos no círculo unitário. Os pontos finais destes arcos são solução polígonos regulares no círculo unitário. Exemplos:
Os pontos finais da solução arcos x = Pi / 3 + k.Pi / 2 formam um quadrado no círculo unitário.
Arcos solução x = pi / 4 + k.Pi / 3 são representadas pelos vértices de um hexágono regular sobre o círculo unitário.

Saiba o métodos para resolver equações trigonométricas.

Se a equação dada trigonométricas contém uma única função trigonométrica, resolve-lo como uma equação trigonométrica básica. Se a equação dada trigonométricas contém duas ou mais funções trigonométricas, existem 2 métodos de resolução, como a possibilidade de transformação.

A. Método 1

Transforma a equação dada trigonométrica em um produto sob a forma: F (x) .g (x) = 0 de (X) .g (x) .h (X) = 0, em que f (x), g ( x) e h (x) são equações básicas trigonométricas.

exemplo 6: Resolvido 2cos x + sin 2x = 0. (0 lt; X lt; 2pi).

Solução: Na equação, pecado 2x substituído pelo uso de identidade: Sin 2x = 2 * x * sin cos x.

cos x + 2 * sen x = x * x * cos 2cos (sen x + 1) = 0. Em seguida resolver as duas funções trigonométricas básicas: cos x = 0, y (sen x + 1) = 0.

exemplo 7: Resolve: cos x + cos cos 2x + 3x = 0. (0 lt; X lt; 2pi).

Solução: transformá-lo num produto com o uso de identidades trigonométricas: cos 2x (2cos x + 1) = 0. Em seguida resolver equações básicas trigonométricas 2 cos 2 x = 0, y (2cos x + 1) = 0.

exemplo 8: Resolvido sin x - sin 3x = cos 2x. (0 lt; X lt; 2pi).

Solução: transformá-lo em um produto usando identidades trigonométricas: cos 2x * (2 sen x + 1) = 0. Em seguida, resolver equações trigonométricas 2 básicos: cos 2x = 0, e (2 sen x + 1) = 0.

B. Método 2

Transforma a equação trigonométrica dada em uma função equação trigonométrica trigonométricas como uma única variável. Existem algumas dicas sobre como selecionar a variável apropriada. Comuns para selecionar variáveis são: x = t cos sin x cos 2x = t- = t, tg tg x = t e (x / 2) = t.

exemplo 9: Resolvido 3sen x ^ 2 - 2cos ^ 2 x = x + 7 4sen (0 lt; X lt; 2pi).

Solução: Na equação, substitui (cos ^ 2 x) por (1 - sin ^ x 2), em seguida, simplificar a equação:

sin ^ 2 x - 2 - 2 sin ^ 2 x - 4sen x - 7 = 0. Calcule sin x = t. A equação torna-se: 5t ^ 2 - 4t - 9 = 0. Esta é uma equação trigonométrica com 2 raízes reais: t1 e t2 = -1 = 9/5. o segundo t2 é rejeitado porque é gt; 1. Em seguida, resolver: t = sin = -1 --gt; X = 3pi / 2.

exemplo 10: Resolvido tg tg x ^ 2 + 2 x = x + 2 COTG.

Solução: calculado TG X = t. Transforma a equação dada em uma equação com t como variável: (2t + 1) (t ^ 2 - 1) = 0. Limpa t deste produto, em seguida, resolve o básico trigonométricas equação tg x = t para x.

Resolver tipos especiais de equações trigonométricas.

Existem alguns tipos especiais de equações trigonométricas que requerem algumas transformações específicas. Exemplos:
a * b * sin x + cos x = c - a (sin x cos + x) + cos b * x * sin x = c;
a * sin x + b ^ 2 * sin x * cos x + c ^ 2 * cos x = 0.

Saiba a propriedade periódica de funções trigonométricas.

Todos são funções trigonométricas periódicas, o que significa que retornam para o mesmo valor após a rotação por um período. Exemplos:

A função f (x) = sin x tem 2Pi como período.
A função f (x) = tan x tem Pi como período.
A função f (x) = 2x pecado Pi como período.
A função f (x) = cos (x / 2) tem como 4pi período.

Se o período especificado problema ou teste, você apenas tem que encontrar a solução ou arcos x dentro deste prazo.

NOTA: Resolvendo equações trigonométricas é um trabalho complicado que muitas vezes leva a erros. Portanto, as soluções devem ser revistos cuidadosamente. Depois de resolver, pode rever as soluções usando uma calculadora gráfica para representar graficamente dado diretamente equação R trigonométricas (x) = 0. As soluções (imobiliário) será em decimais. Por exemplo, Pi é expressa no valor de 3,14.