6 maneiras de segundo grau fator polinomial (equações do segundo grau)

6 Métodos:

Conteúdo

Passos

Noções básicas

Dicas

Avisos

Coisas que você precisa

Relacionados

Tentativa e erro decomposição triplamente Diferença de dois quadrados fórmula quadrática Com uma calculadora

Um polinômio contém uma variável (x) elevado a uma potência (conhecido como grau) e vários termos ou constante. Fatorar um meio polinomiais para quebrar a expressão para um menor com termos que são multiplicados juntos. Factoring é uma habilidade Álgebra I ou superior e, portanto, você pode ser difícil de entender se suas habilidades matemáticas não são a esse nível.

passos

noções básicas

Introduza a expressão. A forma padrão de uma equação quadrática é:

ax + bx + c = 0
Inicia arranjar os termos da equação da maior para a menor potência, como no formato anterior. Por exemplo:

13x + 6x + 6 = 0
expressão Reordenemos a trabalhar mais facilmente organizar os termos:

13x + 6x + 6 = 0

Olhar para a forma tidos usando um dos métodos descritos abaixo. Fatorar o polinômio duas expressões menores que são multiplicados para produzir o polinômio inicial é obtido:

13x + 6x + 6 = (2x + 3) (3x + 2)
Neste exemplo, (2x + 3) e (3x + 2) são fatores da expressão original, 6x + 13x + 6.

Ir verificar o seu trabalho! Multiplicar os fatores de expressão. Em seguida, adicione os termos e verificações semelhantes. Comece com:

(2x + 3) (3x + 2)
Vamos verificar multiplicando os termos na seguinte ordem, pela primeira vez pelo primeiro, pela primeira vez por segundo, segundo pelo primeiro, segundo a segundo, o que nos dá:

6x + 4x + 6 + 9x
A partir daqui, podemos adicionar 4x e 9x porque são termos semelhantes. Nós sabemos que os fatores estão correctas porque operando obter a equação inicial:

13x + + 6 6x

método 1Tentativa e erro

Se você tem um polinômio bastante simples, talvez você possa descobrir seus fatores de relance. Por exemplo, com um pouco de prática, muitos matemáticos sabem que a expressão 4x 4x + + 1 Tem fatores (2x + 1) e (2x + 1) só porque eles têm visto muitas vezes (obviamente não tão fácil com polinômios mais complexos). Para este exemplo, vamos usar uma expressão menos comum:

3x + 2x - 8

1
Lista o termo fatores para e c. Usando o formato ax + bx + c = 0, identifica os termos para e c e lista seus fatores. Para 3x + 2x - 8 que isso significa:

A = 3 e tem um único conjunto de factores: 1 * 3
C = -8 e tem quatro conjuntos de factores: 4 * -2, -4 * 1 * 2 -8 e -1 * 8.
2
Faça dois conjuntos de parênteses com um espaço em branco. No espaço em branco colocar as constantes de cada expressão.

(X) (X)
3
Preencha os espaços em branco com um par de possíveis fatores de valor para. Para o termo para No nosso exemplo (3x), existe apenas uma possibilidade:

(3x) (1x)
4
Preencha os espaços em branco na frente do x com um par de fatores para constantes. Suponha que você escolheu 8 e 1. Nós escrevemos:

(3x 8) (X 1)
5
Decidir o sinal (mais ou menos) devem passar pelo x e números. Com base nos sinais da expressão original, você pode descobrir quais sinais deve ser constante. Vamos chamar as duas constantes de nossos fatores k e h:

Se ax + bx + c, em seguida, (X + H) (x + k)
Se ax - bx - c ou ax + bx - c então (x - h) (x + k)
Se ax - bx + c, em seguida, (x - h) (x - k)Para o nosso exemplo, 3x + 2x - 8 sinais devem ser: (x - h) (x + k), que nos dá os fatores:

(3x + 8) e (x - 1)
6
Verifique o exercício de resolução de multiplicação. Um teste rápido para verificar é ver se a média tem o valor correto. Se não, talvez você tenha escolhido os fatores errados de c. Assegurar o exercício:

(3x + 8) (x - 1)
Multiplicando, obtemos:

3x - 3x 8x + - 8
Simplificar esta expressão, adicionando termos semelhantes (3x) e (8x) temos:

3x - 3x 8x + - 8 + = 3x 5x - 8
Agora sabemos que usar os fatores errados:

3x + 5x - 8 ≠ 3x + 2x - 8
7
Alterar a sua resposta, se necessário. Continuando com nosso exemplo, vamos tentar 2 e 4 em vez de 1 e 8:

(3x + 2) (X - 4)
Agora o nosso mandato c é -8, mas o produto de (3x * -4) e (2 * x) é -12X e 2x, que soma não nos dá o termo correto b (+ 2x).

-10x 12x + = 2x
≠ 2x 10x
8
Inverte a ordem, se necessário. Vamos tentar mover o 2 eo 4:

(3x + 4) (X - 2)
Agora o nosso mandato c (4 * 2 = 8) ainda está correcto, mas o resto do resultado da multiplicação nos dá -6x e 4x. Se somarmos:

-6x + = 2x 4x
≠ 2x 2x

Estávamos muito perto de 2x b, mas tem o sinal errado.
9
Verifique os sinais novamente, se necessário. Usaremos os números na mesma ordem, mas vamos mudar o sinal de menos:

(3x - 4) (x + 2)
Agora o nosso mandato c Ainda é correto, mas o resto da multiplicação dá resultados (6x) e (-4x). Já que:

6x - = 2x 4x
2x = 2xAgora encontramos a 2x da equação original. Estes factores devem ser corretas.

método 2decomposição

Este método identifica todos os fatores possíveis de termos para ec e usa-los para descobrir quais os fatores que devem ser corretas. Se você trabalha com números muito grandes ou outros tais métodos acho que você parece muito longo, use este método. Nós vamos usar o exemplo a seguir:

13x + + 6 6x

1
Multiplique o termo para o termo c. No nosso exemplo, para é 6 eo c É também 6.

6 * 6 = 36
2
Obter o termo b factoring e testes fazendo. Nós olhamos para dois números que são fatores do produto para * c e que, juntos, dar-nos o termo b (13).

4 * 9 = 36
4 + 9 = 13
3
Substituir os dois números na equação como a soma do termo b. usamos h e k para representar os dois números que temos, 4 e 9:

ax + kx + hx + c
6x + 4x + 6 + 9x
4
Fatores o polinômio pelo agrupamento. Organiza a equação para que possa levar o máximo divisor comum (MCD) dos dois primeiros e últimos dois termos. Os dois termos fatorado deve ser igual. Adicione o MCD e bloqueá-las entre parênteses ao lado do grupo factorización- o resultado será seus dois fatores:

6x + 4x + 6 + 9x
2x (3x + 2) + 3 (3 x + 2)
(2x + 3) (3x + 2)

método 3triplamente

Semelhante ao método de decomposição, o método de triplamente examina os possíveis factores de termos de produtos para e c para determinar o valor de potencial b. Considere como um exemplo a seguinte equação:

8x + 10x + 2

1
Multiplique o termo para o termo c. Como no método de decomposição, isso vai ajudar a identificar os possíveis valores do termo b. Neste exemplo, para é 8 eo c pt 2.

8 * 2 = 16
2
Encontrar dois números cujo produto é igual a este número, e cuja soma é igual ao termo b. Este passo é idêntico para os números método de decomposição, de ensaio e de descarte para as constantes. O produto dos termos para e c É 16, enquanto que a sua soma é igual a 10:

2 * 8 = 168 + 2 = 10
3
Pegue os dois números e substituir na fórmula da triplamente. Pegue os dois números acima (chamado de let h e k) E substitua a expressão:

((X + H) (x + k)) / a

Assim, obtém-se:

((8x + 8) (8x + 2)) / 8
4
Observe qual dos dois termos no numerador é perfeitamente divisível para. Neste exemplo, vamos testar se (8x + 8) ou (8x + 2) pode ser dividido por 8. (8x + 8) é divisível por 8, por isso, dividir o prazo entre para e deixar o outro intacto.

(8x + 8) 8 = (x + 1)
O termo que usamos é o resto depois de dividir o termo para: (X + 1)
5
Encontrar o maior divisor comum (MCD) de um ou ambos os termos. Neste exemplo, o segundo termo tem um MCD 2 como 8x + 2 = 2 (4x + 1). resposta Une ao termo que você identificou na etapa anterior. Estes são os fatores na equação.

2 (x + 1) (4x + 1)

método 4Diferença de dois quadrados

Alguns coeficientes do polinómio são identificados como "quadrado" ou como o produto de dois números. Identificar as praças permite fatorar polinômios alguns muito mais rápido. Observe a equação:

27x - = 0 12

1
Se possível, consignado o máximo divisor comum. Neste caso, observa-se que tanto 27 e 12 são divisíveis por 3, então o que nós fator:

27x - 3 12 = (9x - 4)
2
Determina se os coeficientes da equação são números quadrados. Para utilizar este método, você deve ser capaz de aplicar a raiz quadrada de ambos os termos e obter um número inteiro (note que temos deixado de fora os sinais negativos, pois, como os números são elevados ao quadrado pode ser resultado do produto de dois números positivos ou negativos) .

* 9x 3x 3x = 4 = 2 * 2
3
Com as raízes quadradas que você acabou de identificar, escreve fatores. valores que para e c o passo acima para = 9 e c = 4, em seguida, aplicar √ raiz quadradapara = 3 √c = 2. Estes são os coeficientes para as expressões consignado:

27x - 3 12 = (9x - 4) = 3 (3x + 2) (3x - 2)

método 5fórmula quadrática

Se nada funciona e você não pode fator na equação, usando a fórmula quadrática. Considere o seguinte exemplo:

x + 4x + 1 = 0

1
Substituindo os valores correspondentes na fórmula quadrática:

x = -b ± √ (b - 4ac) ---------------------
o segundo
Obtemos a expressão:

x = -4 ± √ (4/4 • • 1 1) / 2
2
Resolva para x. No final você tem dois valores de x. Como mostrado, duas respostas são obtidos:
x = -2 + √ (3) ou X = -2 - √ (3)
3
Usar o valor de x para encontrar os factores. Substitua os valores que você obtidos a partir de x e as constantes de duas expressões polinomiais. Estes são os factores. Se chamarmos os dois valores de x como h e k, Nós escrever factores como segue:

(X - H) (x - k)
Neste caso, a resposta final é:

(X - (+ -2 √ (3)) (X - (-2 - √ (3)) = (x + 2 - √ (3)) (x + 2 + √ (3))

método 6Com uma calculadora

Se você usar o permitam, uma calculadora gráfica simplifica o processo de factoring, especialmente em testes padrão. Estas instruções são para uma calculadora gráfica TI (fabricado pela empresa Texas Instruments). Nós utilizamos a equação seguinte como um exemplo:

y = x - x - 2

1
equação Digita na calculadora. Você vai usar a resolução de equações, também conhecida como a tela.
2
O gráfico da equação usando a calculadora. Depois de entrar na equação, pressione o botão e um arco suave representando a equação (deve ser um arco, porque trabalhamos com polinômios) aparecer.
3
Procurar o ponto em que o arco intersecta o eixo x. Desde equações polinomiais são geralmente escritos na forma ax + bx + c = 0, estes são os dois valores de x que causam a expressão é igual a 0:

(-1, 0), (2, 0)
X = -1, x = 2
Se não for possível identificar rapidamente o ponto onde o gráfico toca o eixo x, pressione e então. Pressione ou selecione "zero". Deslize o cursor para a esquerda de uma entrecortada e pressione. Deslize o cursor para a direita de um entrecortada e pressione. Deslize o cursor tão próximo quanto possível do entrecortada e pressione. A calculadora vai encontrar o valor de x. Faça o mesmo para encontrar a outra interseção.

Substitua os valores que você obteve na etapa anterior x duas expressões fatoriais. Se chamarmos os dois valores de x como h e k, a expressão que usamos é:

(X - H) (x - k) = 0

(X - (-1)) (X - 2) = (x + 1) (X - 2)

dicas

Se você tem uma calculadora TI-84 (gráfico), existe um programa chamado Solver para resolver equações de segundo grau. Ela também serve para resolver todos os polinômios de grau.
Se um termo não existir, o coeficiente é 0. É útil para reescrever a equação se essa situação ocorrer, por exemplo, x + 6 = x + 0 x + 6.
Se você tiver consignado polinomial usando a fórmula quadrática e obtiveram a resposta radical, você pode converter os valores de x em frações para realizar o teste com mais facilidade.
Se o termo tem escrito coeficiente, o coeficiente é de 1, por exemplo, X = 1x.
Com alguma prática, você pode fatorar polinômios mentalmente. Mas até então, não se esqueça de sempre escrever a resposta.

avisos

Se você estiver indo para aprender o conceito de fatoração em sua aula de matemática, prestar atenção ao que o professor diz e não use apenas o seu método favorito. Seu professor pode pedir-lhe para usar um método específico no exame ou não pode permitir o uso de calculadoras gráficas.