Como fator trinômio

3 Métodos:

trinômio Factoring da forma x2 + bx + cFactoring trinômio mais complicadosFactoring casos especiais

A trinômio é uma expressão algébrica que consiste em três termos. As chances são de que você aprenda a primeira trinômio fator "quadrático"- Ie escrita trinômio de forma ax + bx + c. Existem vários truques que você pode aprender e aplicar a diferentes tipos de trinômio quadrática, que aprender a usar melhor e mais rápido com um pouco de prática. Maiores polinômios grau, com termos como x ou x, nem sempre podem ser resolvidos usando os mesmos métodos, mas normalmente pode usar uma fatoração método simples ou de substituição para se tornar problemas podem ser resolvidos como qualquer fórmula quadrática.

método 1
Factoring trinômio da forma x + bx + c
1
Saiba a folha método de multiplicação. Você já deve saber o método de folha (por sua sigla em Inglês), o que significa "em primeiro lugar, exterior, interior e último"E é usado para multiplicar expressões como (x + 2) (x + 4). Isso ajuda a saber como este método funciona antes de factoring. Isto é feito como se segue:
  • multiplica primeiro termos: (X+2) (X+4) = X + __
  • Multiplicar os termos externo: (X+2) (x +4) = X +4x + __
  • Multiplicar os termos interior: (X +2) (X+4) = x + 4x +2x + __
  • multiplica mais recente termos: (x +2) (X +4) = X + 4x + 2x +8
  • Simplifica: x +4x + 2x+8 = x +6x+8
  • 2
    Ele inclui o processo de factoring. Quando você multiplica dois binómios usando o método FOLHA, o resultado é um trinômio (uma expressão com três termos) do formulário parax +bx +c, onde a, b e c são números normais. Se você receber uma equação da mesma forma, você pode fator para convertê-lo em dois binómios.
  • Se a equação não está escrito dessa forma, reorganiza os termos. Por exemplo, reescreve3x - 10 + X como x + 3x - 10.
  • Uma vez que a maior expoente é 2 (x), este tipo de expressão é denominado "quadrático".
  • 3
    Deixe um espaço para a resposta. Por enquanto, você só tem que escrever (__ __) (__ __), no espaço onde você pretende escrever a sua resposta. Você vai preencher os campos conforme você progride.
  • Ainda não escribas + ou - no meio dos termos em branco, porque não sabemos o sinal.
  • 4
    Completar os primeiros termos. Para problemas simples, onde o primeiro termo do trinômio é x, os termos as primeiras linhas será sempre X e X. Esses são os fatores o termo x quando x x = x.
  • Nosso exemplo x + 3x - 10 começa com x, então podemos escrever:
  • (__ X) (X __)
  • Cobrimos problemas mais complicados na próxima seção, incluindo trinômio começando com um termo como 6x ou -x. Por agora, seguir o exemplo.
  • 5
    Use fatoração para encontrar os termos mais recentes. Se você voltar e você verificar o método FOLHA, você vai notar que, multiplicando os últimos termos obter o termo final do polinômio (que não tem x). Portanto, para factoring, você precisa encontrar dois números multiplicado dar o último prazo.
  • No nosso exemplo, x + 3x - 10, o último termo é -10.
  • Quais são os fatores -10? Que números multiplicados resultar -10?
  • Existem várias possibilidades: -1 x 10, 1 x -10, -2 x 5 e, finalmente, 2 x -5. Gravar estes conjuntos de números para que você não se esqueça.
  • Ainda não escrever a resposta. Ele ainda deve ficar assim: (__ X) (X __).


  • 6
    Define o número resposta correta multiplicando dentro do exterior. Nós diminuíram os últimos termos de pesquisa apenas um par de possibilidades. Use tentativa e erro para testar todas as possibilidades, termo multiplicando o lado de fora para dentro e comparando o resultado com o trinómio. Por exemplo:
  • O problema original tem um termo "X" 3x, então temos que a multiplicação prazo.
  • Vamos tentar -1 e 10: (x-1) (x + 10). Fora Dentro = 10x + - x = 9x. Ela não é a resposta.
  • Vamos tentar 1 e -10 (x + 1) (x-10). -10x + X = -9x. Também não é a resposta. Na verdade, como nós tentamos -1 e 10, nós sabemos que se nós usamos 1 e -10, obtemos a mesma resposta com o sinal oposto: -9x vez de 9x.
  • Vamos tentar -2 e 5: (x-2) (x + 5). 5x - = 2x 3x. Esta resposta corresponde à polinômio original, assim é a resposta correta: (X-2) (X + 5).
  • Em casos simples como esta, quando houver uma próxima constante para o termo x, você pode usar um atalho: basta adicionar os dois fatores e adiciona um "X" (-2 + 5 → 3x). Mas esse truque não funciona para problemas mais complicados, por isso é bom lembrar a "forma longa" descrito acima.
    • método 2
    Factoring trinômio mais complicados
    1
    Usa fatoração simples para facilitar os problemas mais complicados. Suponha que será factor 3x + 9x - 30. Pesquisa fator de três termos (a "maior fator comum" ou MFC). Neste caso, é de 3:
    • 3x = (3) (x)
    • 9x = (3) (3x)
    • -30 = (3) (- 10)
    • Portanto, 3x + 9x - 30 = (3) (x + 3x-10). Podemos levar o novo trinômio utilizando os passos descritos na seção anterior. A resposta final será (3) (X-2) (X + 5).


  • 2
    Halla fatores mais complicados. Por vezes, o factor pode ser acompanhada por uma variável ou talvez deverá levar várias vezes para encontrar a expressão mais simples possível. Aqui estão alguns exemplos:
  • 2xy + 14xy + 24y = (2a)(X + 7x + 12)
  • x + 11x - 26x = (X)(X + 11x - 26)
  • -x + 6x - 9 = (-1)(X - 6x + 9)
  • Não se esqueça de levar cada novo trinomio você começa, utilizando os passos descritos no método 1. Verifique os resultados e olhar exemplos semelhantes na seção de solução de problemas na parte inferior desta página.
  • 3
    Resolver trinômio tendo um número que acompanha o termo x. Alguns trinômio quadrática não pode ser simplificada para resolver facilmente. Aprender a resolver semelhante ao 3x + 10x + 8 e, em seguida, praticar problemas em seu próprio país com os problemas na parte inferior da página:
  • Deixe espaço para a resposta: (__ __) (__ __)
  • o "primeiro" termos deve ter um x e temos que multiplicá-los por 3x. Há apenas uma solução: (3x __) (__ x).
  • Escrever fatores 8. Nossas opções são 1 x 8 ou 2 x 4.
  • Teste multiplicando o exterior com o interior termo prazo. Note que a ordem dos fatores, como você deve multiplicar o exterior por 3x prazo em vez de x. Tente todas as opções até 10x resultado (o termo do problema original):
  • (3x + 1) (x + 8) → X = 25x 24x + não
  • (3x + 8) (x + 1) + 8x → 11x = 3x não
  • (3x + 2) (x + 4) → 12x 14x + = 2x não
  • (3x + 4) (x + 2) + 4x → 6x = 10x sim. Este é o factor de correcto.
  • 4
    Use o método de substituição para o trinômio grau superior. Talvez você tem uma equação expoente maior de dois (como x), mesmo após consignado para simplificar o problema. Substituída por uma variável que transforma o problema em um que sabe como resolver. Por exemplo:
  • 36x + 13x + x
  • = (X) (x + 13x + 36)
  • Vamos criar uma nova variável. Suponha que y = x e substituí-lo:
  • (X) (Y + 13Y + 36)
  • = (X) (Y + 9) (y + 4). Agora vamos substituí-lo com a variável original:
  • = (X) (x + 9) (X + 4)
  • =(X) (X ± 3) (x ± 2)


    • método 3
    Factoring casos especiais
    1
    Pesquisar números primos. Verifique se o constante no primeiro ou terceiro mandato do trinômio é um número primo. Um número primo pode ser dividido para obter um número exato apenas por si e um, então há apenas um par possível de fatores para introduzir a binomial.
    • Por exemplo, X + 6x + 5, 5 é um número primo, então o binómio deve ter a forma (__ 5) (__ 1).
    • O problema 3x + 10x + 8, 3 é um número primo, então o binómio deve ter a forma (3x __) (__ x).
    • Para o problema 3x + 4x + 1, o 3 e ele 1 Eles são números primos, então a única solução possível é (3x + 1) (x + 1). (Você deve mesmo assim resolver a multiplicação de verificar, como algumas expressões não pode ser tido, por exemplo, as 3x equação + 100x + 1 não tem fatores).
  • 2
    Verifique se o trinômio é um quadrado perfeito. A trinômio quadrado perfeito podem ser tidos em conta dois binómios idênticos eo fator resultante é geralmente escrito como (x + 1) em vez de (x + 1) (x + 1). Aqui estão alguns exemplos que são muitas vezes em problemas de álgebra:
  • x + 2x + 1 = (x + 1) e x-2x + 1 = (x-1)
  • x + 4x + 4 = (x + 2) e x-4x + 4 = (x-2)
  • x + 6x + 9 = (x + 3) e X-6x + 9 = (x-3)
  • A trinômio quadrado perfeito do formulário parax + bx + c sempre termos de para e c que são perfeitos quadrada positiva (como 1, 4, 9, 15 ou 25) e o termo b (Positivo ou negativo) é igual a 2 (* √a √c).
  • 3
    Verifique se o problema tem uma solução. Nem todos trinômio pode ser consignado. Se você não pode resolver um trinômio quadrática (ax + bx + c), usar a fórmula quadrática para encontrar a resposta. Se as únicas soluções são a raiz quadrada de um número negativo (ou seja, não existe uma solução verdadeira), em seguida, o trinómio pode não ser consignado.
  • Não trinômio quadrática, Eisenstein utiliza os critérios descritos na seção dicas.

    • Problemas e Soluções

    1. Respostas para os problemas de fatoração "complicado". Estes são os problemas pisar "factores mais complicadas". Eles já foram simplificados para trinômio simples, de modo a tentar resolvê-los usando as etapas descritas no método 1, em seguida, verifique as suas respostas aqui:
    2. (2y) (x + 7x + 12) = (X + 3) (X + 4)
    3. (X) (x + 11x - 26) = (X + 13) (X-2)
    4. (-1) (X - 6x + 9) = (x-3) (X-3) = (X-3)
    5. Tente problemas de fatoração mais complicado. Estes problemas têm um fator comum em cada termo deve primeiro ser consignado. Sombra do espaço após o sinal de igual para ver a resposta e verificar o seu trabalho:
    6. 3x 6x + 3x- = (3x) (x + 2) (x-1) ← sombra este espaço para ver a resposta.
    7. -5xy + 30xy-25yx = (-5xy ^ 2) (X-5) (X-1)
    8. Prática com problemas difíceis. Os seguintes problemas não podem ser tidos em soluções simples, então você deve encontrar a resposta na forma (_x + __) (__ _ x +) por tentativa e erro:
    9. 2x + 3x-5 = (2x + 5) (X-1) ← sombreamento para ver a resposta.
    10. 9x + 6x + 1 = (3x + 1) (3x + 1) = (3x + 1) (Dica: você pode precisar de tentar mais de um par de fatores para o termo 9x).

    dicas

    • Se não conseguir fatorar um trinômio quadrática (ax + bx + c), você pode usar a fórmula quadrática para encontrar o valor de x.
    • Embora não seja necessário saber, você pode usar o critério de Eisenstein para determinar rapidamente se o polinômio é irredutível, caso em que ele não pode ser consignado. Essa abordagem funciona para qualquer tipo de polinomial, mas funciona melhor no trinômio. Se houver um número primo (p) dividindo com precisão os dois últimos termos e satisfaz as seguintes condições, então o polinômio é irredutível:
    • O termo constante (que não tem qualquer variável) é um múltiplo de p, mas não p.
    • O primeiro termo (por exemplo, para em ax + bx + c) não é um múltiplo de p.
    • Por exemplo, 14x + 45x + 51, é irredutível porque há um número primo (3) que divide exatamente 45 e 51, mas não 14 e 51 não pode ser dividido entre três com precisão.

    avisos

    • Embora seja verdade para o trinômio quadrática, os trinômio fatoráveis ​​não são necessariamente o produto de dois binómios. Por exemplo, X + + 46 = 105x (x + 5x + 2) (X - 5x + 23).
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