Como fazer diferenciação implícita: 7 Passos

2 métodos:Diferenciar equações simples rapidamente Usando técnicas avançadas

No cálculo, quando você tem uma equação para e escrita em termos de X (Como y = x 3x), é fácil de usar técnicas básicas de diferenciação (que técnicas matemáticas conhecidas como "diferenciação explícita") para determinar a derivada. No entanto, no caso de equações que são difíceis de reorganizar e colocar em um lado do sinal de igual (tal como X + Y - 8y + 5x + 2xy = 19), será necessário um método diferente. Com a ajuda de uma técnica chamada de diferenciação implícita, ser fácil de encontrar as equações de derivadas com múltiplas variáveis, sempre e quando você sabe o básico de diferenciação explícita!

método 1Diferenciar equações simples rapidamente

Ao contrário dos termos X como sempre. Na tentativa de diferenciar uma equação de múltiplas variáveis, como x + y - 5x + 8Y + 2xy = 19, pode ser difícil saber por onde começar. Felizmente, o primeiro passo da diferenciação implícita é o mais simples. Para começar, basta termos de diferença com X e constante em ambos os lados da equação por as regras de diferenciação normal (explícita). Por enquanto, ignore os termos com e.

Vamos tentar diferenciar a simples equação acima. A equação x + e - 5x + 8Y + 2XY = 19 tem dois termos com X: X e -5x. Se diferenciar a equação, é preciso primeiro resolver o seguinte:
x + y - 5x + 8Y + 2xy = 19
Abaixe o expoente "2" em x para colocar como coeficiente elimina a X e alterações nas -5x 19 0)
2x + y - 5 + 8Y + 2xy = 0

Ao contrário de um acordo com e e conjuntos "(Dy / dx)" ao lado de cada. Na próxima etapa, apenas diferença de acordo com e da mesma forma que fez com os termos de x. No entanto, este tempo adiciona "(Dy / dx)" ao lado de cada, da mesma forma que você gostaria de acrescentar um coeficiente. Por exemplo, se as diferenças e irá tornar-se 2e (dy / dx). Por enquanto, ignore os termos que têm ambos x e y.

No nosso exemplo atual, a equação será parecido com este: 2x + y - 5 + 8Y + 2xy = 0. Vamos fazer esta etapa e diferenciação da seguinte forma:
2x + y - 5 + 8Y + 2xy = 0
Abaixe o expoente "2" e colocá-lo como um fator, elimina a e em 8Y e coloca uma "dy / dx" ao lado de cada um.
2x + 2y (dy / dx) - 5 + 8 (dy / dx) + 2xy = 0

Use a regra do produto ou a regra do quociente para termos que têm ambos x e y. Tendo em termos Resolver X e Y é um bocado complicado, mas se você sabe a regra do produto e quociente de diferenciação, não tem nenhum problema. Se os termos de x e multiplicar e usa a regra do produto ((F × g) `= f` + g × g × f `), Em substituição do termo X por f eo termo e por g. Por outro lado, se os termos X e Y são divididos entre si, usando a regra do quociente ((F / g) `= (g × f` - g `× f) / g), Em substituição do termo em f numerador eo denominador por termo g.

No nosso exemplo, 2x + 2y (dy / dx) - 5 + 8 (dy / dx) + 2xy = 0, temos apenas um termo que tem tanto X como e, que é 2xy. Dado que X e e são multiplicados juntos, vamos usar a regra do produto para diferenciar, como segue:
2xy = (2x) (y) - colocado 2x = f e y = g (f × g) `= f` + g × g × f `
(F × g) `= (2x)` × (Y) + (2 x) x (y) `
(F × G) `= (2) x (y) + (2x) × (2y (dy / dx))
(F × g) `= 2y + 4xy (dy / dx)
Para adicioná-lo à nossa equação novamente, obtemos 2x + 2y (dy / dx) - 5 + 8 (dy / dx) + 2y + 4xy (dy / dx) = 0

Isolados (dy / dx). Já quase pronto! Agora tudo que você precisa fazer é resolver a equação para (dy / dx). Parece difícil, mas geralmente não é notas que os dois termos para e b multiplique isso por (dy / dx) pode ser escrita como (a + b) (dy / dx) grcias a propriedade distributiva da multiplicação. Essa tática pode tornar mais fácil para isolar (dy / dx) - basta colocar todos os outros termos do lado oposto dos suportes e depois dividi-los entre os termos entre parênteses ao lado (dy / dx).

No nosso exemplo, podemos simplificar 2x 2y + (dy / dx) - 5 8 + (dy / dx) + 2y + 4xy (dy / dx) = 0 como se segue:
2x + 2y (dy / dx) - 5 + 8 (dy / dx) + 2y + 4xy (dy / dx) = 0
(2y + 8 + 4xy) (dy / dx) + 2x - 5 + 2y = 0
(2y + 8 + 4xy) (dy / dx) = 2y - 2x + 5
(Dy / dx) = (2y - 2x + 5) / (2y + 8 + 4xy)
(Dy / dx) = (2y - 2x + 5) / (2 (+ y + 2xy 4)

método 2Usando técnicas avançadas

Ligue o (x, y) para encontrar (dy / dx) em qualquer ponto. Parabéns! Você tem equação diferencial implícita, que não é uma tarefa fácil para iniciantes! Use esta equação para encontrar a inclinação (dy / dx) para qualquer ponto (x, y) é tão simples como ligar valores X e e para o ponto no lado direito da equação e, em seguida, a solução (dy / dx).

Por exemplo, suponha que queremos encontrar a inclinação no ponto (3, 4) para a equação acima. Para fazer isso, nós substituímos 3 X e -4 para e, solução seguinte:
(Dy / dx) = (2y - 2x + 5) / (2 (+ y + 2xy 4)
(Dy / dx) = (2 (-4) - 2 (3) + 5) / (2 (2 (3) (- 4) + (-4) + 4)
(Dy / dx) = (-2 (16) - 6 + 5) / (2 (2 (3) (- 4))
(Dy / dx) = (-32) - 6 + 5) / (2 (2 (-12))
(Dy / dx) = (-33) / (2 (2 (-12))
(Dy / dx) = (-33) / (- 48) = 3/48 ou 0,6875.

Use a regra de cadeia para funções dentro de outras funções. Quando se trata de problemas computacionais (incluindo problemas de diferenciação implícita), é muito importante saber a regra da cadeia. A regra da cadeia afirma que para uma função F (x) pode ser escrita como (f ou g) (X), o derivado de f (x) é igual f (G (x)) G `(x). Para problemas de diferenciação implícita que têm maior dificuldade, isto significa que é possível diferenciar várias "partes" individuais da equação e, em seguida, montar o resultado.

Como um exemplo simples, suponha que você precisa encontrar o derivado do pecado (3x + x) como parte de um problema de diferenciação implícita para maior pecado equação (3x + x) + y = 0. Se considerarmos o pecado (3x + x) como "F (x)" e x + 3x como "g (x)"Podemos encontrar a diferenciação da seguinte forma:
f (G (x)) G `(x)
(Sin (3x + x)) `× (3x + x)`
COS (3x + x) x (6x + 1)
COS (6x + 1) (3 x + x)

Para equações com variáveis x, y, z, encontra (dz / dx) e (Dz / dy). Embora não seja comum no cálculo básico, algumas aplicações podem exigir avançada diferenciação implícita desempenhar mais do que duas variáveis. Para cada variável adicional, você precisa encontrar um derivado extra com relação a x. Por exemplo, se você trabalha com variáveis x, y, z, você terá que encontrar (dz / dy) e (dz / dx). Podemos fazer isso através da diferenciação da equação em relação a x duas vezes. O primeiro lugar a (dz / dx) cada vez que diferenciar um termo com z e o segundo lugar a (dz / dy) cada vez que diferenciar z. Em seguida, ele irá emitir para resolver (dz / dx) e (dz / dy).

Por exemplo, suponha que queremos diferenciar xz - 5xyz = x + y.
Primeiro, realizamos a diferenciação em relação a x e colocamos (dz / dx). Não se esqueça de aplicar a regra do produto se necessário!
xz - 5xyz = x + y
3xz + 2XZ (dz / dx) - 5yz - 5xy (dz / dx) = 2x
3xz + (2XZ - 5xy) (dz / dx) - 5yz = 2x
(2XZ - 5xy) (dz / dx) = 2x - 3xz + 5yz
(Dz / dx) = (2x - 5yz 3xz +) / (2XZ - 5xy)
Agora faça o mesmo para (dz / dy)
xz - 5xyz = x + y
2XZ (dz / dy) - 25xyz - 5xy (dz / dy) = 3y
(2XZ - 5xy) (dz / dy) = 3y + 25xyz
(Dz / dy) = (3a + 25xyz) / (2XZ - 5xy)

avisos

Sempre olhar para uma parte onde necessário aplicar a regra do quociente ou produto, é muito fácil de esquecer.