Resolver uma equação linear diophantine

Uma equação Diophantine é uma operação algébrica com a restrição especial que só leva em conta variáveis ​​cujas soluções são inteiros .. Em geral

, equações diofantinas são muito difíceis de resolver e há muitas abordagens para um resultado que ainda não pode ser uma solução definitiva. (O Último Teorema de Fermat é um famoso Diofantinas equação 350 anos continua por resolver.) No entanto, uma equação Diophantine linear a forma deX + be = C pode ser resolvido com relativa facilidade utilizando o algoritmo descrito aqui. Usando esse método, podemos encontrar (4.7) como a única solução em inteiros positivos para 31X + 8e = 180. A divisão aritmética de módulo também pode ser expressa como uma equação linear Diofantina. Por exemplo 12/7 (mod 18) apela para a solução 7X 12 = (mod 18) e pode ser reescrito forma 7X = 12 + 18e ou 7X - 18e = 12. Embora algumas das equações Diofantinas são extremamente difíceis de resolver, pode fazer uma tentativa com os encontrados desta maneira. 

passos

1

Se você não está bem expressa, mudar a sua equação para a formaX + be = C.

2

O algoritmo de Euclides aplicada aos coeficientes de "a" e "b". Isso serve a dois propósitos. Em primeiro lugar, descobrir se os coeficientes têm um fator comum. Se tentarmos resolver 4X + 10e = 3, podemos dizer imediatamente que ser parte à esquerda do sinal de igual sempre, mesmo, e sendo a expressão à direita do sinal não sempre, é impossível ter uma solução com números inteiros positivos. Da mesma forma, se temos 4X + 10e = 2, podemos simplificar a equação 2X + 5e = 1. O segundo objectivo de satisfazer é que, se não é uma solução, pode-se construir a partir da sequência de quocientes de algoritmo de Euclides.

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se para, b, e c têm um fator comum, só simplifica a equação, dividindo ambos os lados da transação entre esse fator. se para e b Eles não têm um fator comum compartilhado por c, détente então: há soluções inteiras para a equação.

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Faça uma tabela de três linhas como mostrado abaixo.



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rácios bagagem o seu algoritmo de Euclides na linha superior. Esta imagem ilustra como o processo iria resolver 87X - 64e = 3.

6

Encha as duas linhas seguintes da esquerda para a direita com o procedimento seguinte: Para cada célula, a nota soma da célula superior na coluna e as duas semanas que se seguem suas células restantes.

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Olhe para as duas últimas colunas de toda a sua mesa. A coluna final deve conter para e b, os coeficientes iniciais da equação. (Se não, verifique suas somas novamente.) A penúltima coluna conterá dois outros números. Neste exemplo sendo para = 87 e b = 64, a penúltima coluna contendo 34 e 25.

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Veja como 87 * 25-64 * 34 = -1. O determinante da matriz 2x2 no canto inferior direito será sempre um positivo ou negativo. Se for negativo, multiplicar ambos os lados da equação por -1 para -87 * 25 + 64 * 34 = 1. Esta observação é o ponto de partida para construir uma solução.

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Voltar para a equação original. Reescreve a igualdade anterior quer como 87 * (- 25) + 64 * (34) = 1 ou 87 * (- 25) - 64 * (- 34) = 1, o que é mais parecido com a equação original . Por exemplo, a segunda opção é melhor, visto que coincide com o termo e -64 no original quando e = -34.

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Só agora temos de preocupar com a constante c para a direita da equação. Uma vez que a equação acima mostra queX + be = 1, multiplicar por dois lados c por um (CX) + B (ce) = C. Se (-25, -34) é uma solução para 87X - 64e = 1, então (-75, -102) é uma solução para 87X-64e = 3.

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Se a equação Diophantine tem qualquer solução, então você tem soluções ilimitadas. Isto é porqueX + be = A (X+b) + b (e-a) = a (X+2b) + b (y-2a), e, em geral,X + be = A (X+kb) + b (e-ka) para qualquer número inteiro k. Para consistente, se (-75, -102) é uma solução para 87X-64e = 3, outras soluções (-11, -15), (53,72), (117,159), etc. A solução geral, pode ser escrita como (53 + 64k, 72 + 87k) feito k é um número inteiro qualquer.

dicas

  • Você deve ser capaz de fazer isso com papel e lápis, mas se você lidar com quantidades muito grandes, uma calculadora ou uma planilha pode ser útil.
  • Verifique a sua resposta. Igualdade na etapa 8 deve assinar qualquer erro no algoritmo de Euclides ou durante o enchimento da tabela. Compare a sua solução final com a expressão original para excluir qualquer erro.

Coisas que você precisa

  • Papel, lápis, talvez calculadora ou planilha

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