Como calcular a velocidade instantânea

3 partes:Calcular a velocidade instantâneaEstimar a velocidade instantânea com um gráficoExemplos

A velocidade é definida como a velocidade de um objecto numa dada direcção. Em muitas situações ordinárias, para encontrar a velocidade utilizamos a equação v = S / T, onde "v" é a velocidade, "s" é o deslocamento a partir da posição inicial do objecto e "t" é igual ao tempo decorrido. No entanto, tecnicamente isso só dá a velocidade média o objecto durante o seu percurso. Por meio do cálculo é possível determinar a velocidade de um objecto em qualquer momento durante o seu percurso. Isto é conhecido como velocidade instantânea e é definido pela equação v = (ds) / (dT) ou, em outras palavras, a derivada da equação para a velocidade média do objecto.

parte 1Calcular a velocidade instantânea

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Ela começa com uma equação para a velocidade em termos de deslocamento. Para encontrar a velocidade instantânea de um objeto, é preciso primeiro ter uma equação que nos diz a sua posição (em termos de deslocamento) em um determinado ponto no tempo. Isto significa que a equação deve ser variável s em um lado e isolado t Por outro (não necessariamente isolado), assim:

s = -1.5t + 10t + 4

• Nesta equação, as variáveis ​​são os seguintes:

  Scrolling = s . A distância do objeto viajou de sua posição inicial. Por exemplo, se um objecto 10 metros e 7 metros à frente move-se para trás, o seu deslocamento total é de 07/10 = 3 metros (10 + 7 = 17 metros).

  Tempo = t . Não há necessidade de explicar. Normalmente, medido em segundos.

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Aqui a derivada da equação. o derivada uma equação é apenas uma equação diferente que conta sua inclinação em qualquer ponto no tempo. Para encontrar a derivada da função de diferença fórmula de deslocamento com esta regra geral para encontrar os derivados: Se y = a * x, a * n = derivativos * x. Esta regra aplica-se a todos os termos do "t" lado da equação.

• Em outras palavras, começar com o "t" lado da equação, a partir da esquerda para a direita. Toda vez que você chegar a um "t", subtrair 1 e multiplicar todo expoente prazo, o expoente originais. Todos os termos constantes (termos que não contenham "t") desaparecem porque eles são multiplicados por 0. Na verdade, este processo não é tão difícil como parece obtemos a equação na etapa anterior a título de exemplo:
  

s = -1.5t + 10t + 4
(2) -1.5t + (1) + 10T (0) 4t
-+ 10t 3t
-3t + 10

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Substitui o "s" por "ds / dt". Para demonstrar que o nosso novo equação é derivado a partir do primeiro, substituímos "s", com a notação "DS / dt." Tecnicamente, esta notação significa "o derivado de s com respeito ao" t ". A maneira mais simples de pensar sobre isso é simplesmente consideram que ds / dt é a inclinação de qualquer ponto dado na primeira equação. Por exemplo, para encontrar o declive da linha feita por s = -1.5t + 10T + 4 em t = 5, irá simplesmente dar um valor de "5" para "T" na sua derivada.

• No nosso exemplo actual, a equação final será como se segue:
  

ds / dt = + 10 -3t

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Dê valor de "t" para o novo equação para encontrar a velocidade instantânea. Agora você tem a equação resultante, encontrar a velocidade instantânea em qualquer ponto do tempo, ser fácil. Tudo que você precisa fazer é escolher um valor para o "t" e substituí-lo em sua equação derivada. Por exemplo, se quisermos encontrar a velocidade instantânea em t = 5, simplesmente substituiria "5" com "t" nos ds derivados / dt = -3 + 10. Em seguida, resolver a equação da seguinte forma:

ds / dt = + 10 -3t
ds / dt = -3 (5) + 10
ds / dt = -15 + 10 = -5 metros por segundo

• Note-se que no regime de usar os "metros por segundo" rótulo. Desde que lidar com o deslocamento em termos de metros e ao longo do tempo em termos de segundos e velocidade geral é simplesmente o deslocamento ao longo do tempo, esse rótulo é adequado.

parte 2Estimar a velocidade instantânea com um gráfico

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Lotes o deslocamento do objecto ao longo do tempo. Na seção anterior, mencionamos que os derivados são simplesmente fórmulas que nos permitam encontrar a inclinação em qualquer ponto para a equação para o qual tomou o derivativo. Na verdade, se representa o deslocamento de um objecto com uma linha num gráfico, a inclinação da linha em qualquer ponto é igual à velocidade instantânea do objecto naquele ponto.

• Para ilustrar o deslocamento de um objeto, use o eixo "x" para representar o tempo e o eixo "e" para representar tal deslocamento. em seguida, os pontos de rastreio dando valores "t" em sua equação de deslocamento, obter os valores de "s" por suas respostas e marcar os pontos T, S (x, y) no gráfico.
• Note-se que o gráfico pode estender-se por baixo do eixo "x". Se a linha que representa o movimento do objecto cai abaixo do eixo "x", vai representar o movimento do objecto abaixo do seu ponto de origem. Normalmente, o gráfico se estende a abaixo do eixo "y", por isso não sempre medir a velocidade para mover objetos de volta no tempo!

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Escolha um ponto P e o ponto Q que estão perto da inclinação na linha. Para encontrar a inclinação de uma linha em um único ponto P, usamos um truque chamado "pegar um limite." Isto envolve a tomada de dois pontos (P sobre Q, um ponto perto disso) na linha curva e encontrar o declive da linha que os liga novamente como a distância entre P e Q é encurtado.

• Suponha que a nossa linha de viagem contém os pontos (1,3) e (4,7). Neste caso, se quisermos encontrar a inclinação em (1,3), podemos estabelecer que (1,3) = P e (4,7) = Q.

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Encontre a inclinação entre P e Q. A inclinação entre P e Q é a diferença nos valores de "e" para P e Q na diferença entre os valores de "x" para P e Q. Por outras palavras, H = (y_Q - e_P) / (X_Q - X_P), em que H é o declive entre os dois pontos. No nosso exemplo, o declive entre P e Q é:

H = (y_Q - e_P) / (X_Q - X_P)
H = (7-3) / (4-1)
H = (4) / (3) = 1.33

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Repita este passo várias vezes, aproximando-Q P. O seu objectivo é fazer com que a distância entre P e Q menor, até que se aproxima a um único ponto. Quanto menor a distância entre P e Q, mais perto da encosta de pequenos segmentos de linha para a inclinação no ponto P. Vamos fazê-lo algumas vezes para nossa equação, usando os pontos (2,4.8), (1.5,3.95 ) e (1.25,3.49) para Q e nosso ponto original (1,3) para P:

Q = (2,4.8): H = (4,8 - 3) / (2-1)
H = (8/1) / (1) = 1.8

Q = (1.5,3.95): H = (3,95 - 3) / (1,5 - 1)
H = (0,95) / (. 5) = 1.9

Q = (1.25,3.49): H = (3,49-3) / (1,25 - 1)
H = (0,49) / (. 25) = 1,96

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Estima a inclinação para um infinitamente pequeno intervalo na linha. Como Q está se movendo mais perto de P, H é cada vez mais perto da encosta no ponto P. Eventualmente, em um infinitamente pequeno intervalo, H é igual à inclinação P. porque não podemos medir ou calcular um infinitamente pequeno intervalo, apenas a estimar a inclinação em P, uma vez que está livre dos pontos que já testamos.

• No nosso exemplo, à medida que Q mais perto de P, obtém-se os valores de 1,8, 1,9 e 1,96 de H. Uma vez que estes números parece aproximar-se 2, podemos dizer que 2 É uma boa estimativa para a inclinação em P.
• Recordar que a inclinação em um determinado ponto de uma linha é igual a derivada da equação da linha naquele ponto. Desde a nossa linha mostra o deslocamento do objeto ao longo do tempo e, como vimos na seção anterior, a velocidade instantânea de um objeto é a derivada de deslocamento em um certo ponto, podemos dizer que 2 metros por segundo É uma boa estimativa da velocidade instantânea em t = 1.

parte 3Exemplos

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Achei que a velocidade instantânea em t = 4 porque a equação de deslocamento s = 5t - 3t + 2t + 9. Isso é semelhante ao nosso exemplo na primeira seção, exceto que lidamos com uma equação cúbica, em vez de uma equação quadrática, para que possamos resolvê-lo da mesma forma.

• Primeiro, tomamos a derivada da nossa equação:
  

s = 5t - 3t + 2t + 9
s = (3) 5t - (2) 3t + (1) 2t
15t - 6t + 2t - 6t + 2

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Ela usa uma estimativa gráfica para encontrar a velocidade instantânea em (1,3) para a equação de deslocamento s = 4t - t. Para este problema, usamos (1.3) como ponto P, mas temos de encontrar alguns outros lugares nas proximidades para usar como a nossa pontos Q. Então é só uma questão de encontrar os valores de H e estimativa.

• Primeiro, encontramos pontos Q t = 2, 1.5, 1.1 e 1.01.
  

s = 4t - t

t = 2: s = 4 (2) - (2)
4 (4) - 2 = 16 - 14 = 2, então Q = (2,14)

t = 1,5: s = 4 (1,5) - (1,5)
4 (2,25) - 1,5 = 9-1,5 = 7,5, em seguida, Q = (1.5,7.5)

t = 1,1: s = 4 (1.1) - (1.1)
4 (1,21) - 1,1 = 4,84-1,1 = 3,74, em seguida, Q = (1.1,3.74)

t = 1,01: s = 4 (1,01) - (1,01)
4 (1,0201) - 4,0804 = 1,01-1,01 = 3,0704, então Q = (1.01,3.0704)

dicas

• Para determinar a aceleração (variação da velocidade ao longo do tempo), usando o método da primeira parte, para obter uma equação derivada para a função de deslocação. Em seguida, tomando outra derivada, mas desta vez, uma derivada da equação. Isto lhe dará uma equação você deve encontrar a aceleração em um determinado momento. Tudo que você tem a fazer é dar o valor para o tempo.
• A equação que relaciona Y (deslocamento) X (tempo) pode ser bastante simples, por exemplo, Y = 6x + 3. Neste caso, a inclinação é constante e não é necessário encontrar um derivado de encontrar, o qual é 6, de acordo com Y = mx + b um modelo básico para gráficos lineares.
• O deslocamento é a distância, mas tem uma direção estabelecida, tornando-se a um vector e velocidade em uma escala. O deslocamento pode ser negativo, enquanto a distância ser sempre positivo.