Como calcular uma raiz quadrada: 25 passos (com fotos)

2 métodos:

Conteúdo

Utilizando um algoritmo de divisão
Entende como funciona o processo

Usando a fatoração em primos Encontrar uma raiz quadrada manualmente

Antes de haver calculadoras, professores e alunos tiveram que calcular raízes quadradas com a mão. Desde então, eles evoluíram vários métodos para resolver raízes quadradas, em se obter alguma aproximação da raiz, enquanto em outros é obtido o valor exato. Leia para saber como encontrar manualmente a raiz quadrada de um número usando operações simples.

método 1Usando a fatoração em primos

Divida o número nos seus factores de quadrados perfeitos. Este método utiliza os factores de o número de encontrar a sua raiz quadrada (dependendo do número, a resposta pode ser um número exacto ou um valor aproximado). o fatores um número são qualquer conjunto de números multiplicados juntos nos dão como resultado o número original. Por exemplo, factores de 8 e 4 são duas, porque 2 × 4 = 8. Por outro lado, quadrados perfeitos, são números inteiros que são o produto de outros números inteiros. Por exemplo, 25, 36, e 49, são quadrado perfeito que pode ser representada como 5, 6, e 7, respectivamente. Os fatores de quadrados perfeitos (presumivelmente) são os fatores que por sua vez são quadrados perfeitos. Para encontrar a raiz quadrada de um número através da fatoração prima, a primeira coisa que você deve fazer é tentar reduzir o número aos seus perfeitos fatores quadrados.

Nós usamos um exemplo. Nós vamos encontrar manualmente a raiz quadrada de 400. Para começar, nós dividimos o número nos seus factores de quadrados perfeitos. Desde 400 é um múltiplo de 100, nós sabemos que é divisível por 25, que é um quadrado perfeito. Se dividirmos mentalmente se 400 dividido por 25 nos dá igual a 16. 16 (coincidentemente) também é um quadrado perfeito. Portanto, os quadrados perfeitos fatores 400 são 25 e 16 que 25 x 16 = 400.
Nós escrevemos o seguinte: Sqrt (400) = SQRT (25 × 16) - o termo "sqrt" É a abreviatura de raiz quadrada e vem do Inglês "raiz quadrada".

Tirar a raiz quadrada dos fatores quadrados perfeitos. As propriedades dos produtos de duas raízes quadradas nos dizer que para qualquer grupo de números para e b, Sqrt (a x b) = sqrt (a) X sqrt (b). Devido a esta propriedade, podemos tirar a raiz quadrada dos fatores quadrados perfeitos e multiplicá-los em conjunto para obter a resposta para o nosso problema.

No nosso exemplo, vamos tomar as raízes de 25 e 16. Fazemos isso da seguinte forma:

SQRT (25 × 16)
SQRT (25) × sqrt (16)
5 x 4 = 20

Se o seu número não recebe um fator perfeito, que reduz a resposta à termos simples. Na realidade (muitas vezes) os números que devem ter raiz quadrada não será números precisos com fatores quadrado perfeito simples (como o 400 que usamos em nosso exemplo). Nestes casos, a resposta pode não ser nós raiz de um número inteiro. Se isso acontecer, então você deve tentar expressar a resposta em termos de uma raiz quadrada menor, simples e fácil de manusear. Para fazer isso, reduzindo o número a uma combinação de factores quadrado perfeito e não é perfeita, então simplifica factores quadrados.

Usamos a raiz quadrada de 147 como um exemplo. 147 não pode ser expressa como o produto de dois quadrados perfeitos, de modo que não é possível obter um número inteiro tal como no exemplo anterior. No entanto, ela pode ser expressa como o produto de um quadrado perfeito e um outro número, e 3. 49 Podemos utilizar essa informação para escrever a resposta em termos simples, como se segue:

SQRT (147)
= SQRT (49 × 3)
= SQRT (49) × SQRT (3)
= 7 x sqrt (3)

Se necessário aproxima da resposta. Com a raiz quadrada expressa em termos simples, que é mais fácil obter uma resposta numérica aproximada através da determinação do valor dos restantes raízes quadradas e multiplicando. Uma maneira de realizar a aproximação é para encontrar os quadrados perfeitas em ambos os lados do número que está dentro da raiz quadrada. O valor decimal do número dentro da raiz quadrada é em algum lugar entre esses dois números, por isso, se você pegá-los você pode fazer uma boa aproximação.

Voltemos ao nosso exemplo. Desde 2 = 4 e 1 = 1, sabemos que Sqrt (3) está entre 1 e 2, provavelmente mais perto de 2 a 1. Vamos fazer uma abordagem e dizer que Sqrt (3) é de 1,7. 7 x 1,7 = 11,9 se verificar com a calculadora, podemos ver que temos uma resposta muito perto da resposta real é 12.13.

Este método também funciona com números maiores. Por exemplo, sqrt (35) pode ser aproximada entre 5 e 6 (provavelmente próxima de 6). 5 = 25 e 6 = 36. 35 é entre 25 e 36, então a raiz quadrada deve ser entre 5 e 6. Uma vez que 35 é um número único de 36, podemos dizer com confiança que a raiz quadrada é há pouco abaixo de 6, neste caso, diremos que é de 5,9. Verificando com nota calculadora que a resposta é 5.92- estávamos certos.

Você também pode reduzir o número para o seu mais fatores comuns como um primeiro passo. Encontre os fatores quadrado perfeito não é necessário se você pode facilmente determinar os fatores primos do número (os fatores que por sua vez são números primos). Escreva o número em termos de seus mais baixos fatores comuns. Em seguida, encontrar os mesmos números primos entre os fatores. Quando você encontrar dois números primos idênticos, mostra ambos os números e coloque a raiz quadrada um esses números fora da raiz.

Por exemplo, vamos encontrar a raiz quadrada de 45 usando este método. Sabemos que 45 = 9 x 5 e 9 = 3 × 3 Portanto, podemos escrever a nossa raiz quadrada em termos de factores como segue Sqrt (3 × 3 × 5). Simplesmente fatorado 3 e colocá-lo fora da raiz quadrada para obter a resposta em termos simples: (3) Sqrt (5). Nesse ponto, você pode fazer uma abordagem.
Vamos usar um exemplo para ilustrar este método, vamos encontrar a raiz quadrada de 88:

SQRT (88)
= Sqrt (2 × 44)
= SQRT (2 × 4 × 11)
= SQRT (2 × 2 × 2 × 11). Temos vários 2 dentro da raiz quadrada. Desde 2 é um número primo, só podemos resolver a deixar a 2 dentro da raiz quadrada.
A = raiz quadrada de 88, expressa em termos simples, é igual a (2) sqrt (2 × 11) ou (2) SQRT (2) SQRT (11). Neste ponto, podemos aproximar sqrt (2) e Sqrt (11) para obter a resposta.

método 2Encontrar uma raiz quadrada manualmente

Utilizando um algoritmo de divisão

Divida em pares de dígitos. Este método utiliza um processo semelhante a uma divisão para encontrar a raiz quadrada exato o número, dígito por dígito. Embora não seja necessário, pode torná-lo mais fácil de executar esse processo se planejar visualmente o seu local de trabalho e dividir o número mais fácil de trabalhar partes. Primeiro, desenhe uma linha vertical que separa a área de trabalho em duas seções, em seguida, desenhar um menor na parte superior da seção de direito de dividir esta seção em uma seção superior mais pequeno e uma linha horizontal seção inferior maior. Em seguida, separando os números em pares, a partir do ponto decimal. Por exemplo, a aplicação da regra, torna-se 79,520,789,182.47897 "95 20 78 7 91 82 47 89 70". Escreva o número em cima na parte esquerda.

Por exemplo, vamos calcular a raiz quadrada de 780,14. Desenhe duas linhas para dividir seu espaço de trabalho, como mencionado acima e escrever "7 80 14" na parte superior da secção esquerda. Não há problema se o primeiro número é um deles. Você escreve a resposta (a raiz quadrada de 780,14) na parte superior da seção direita.

Encontre o maior inteiro n cujo quadrado é menor do que ou igual ao número (ou par de números) localizada na extremidade esquerda. começa com "bloco" localizada na extremidade esquerda do número, quer se trate de um par de números ou um único número. Encontre o maior quadrado perfeito que é inferior ou igual a este bloco, em seguida, tirar a raiz quadrada do quadrado perfeito. Este número n. Escrever n na direita e tipo n quadrado superior no quadrante inferior direito.

No nosso exemplo, o número 7 está localizado na extrema esquerda. Como sabemos que 2 = 4 ≤ 7 lt; 3 = 9, podemos dizer que n = 2 é o maior inteiro cujo quadrado é menor do que ou igual a 7. Entre 2 no quadrante superior direito. Este é o primeiro dígito da resposta. Escrever 4 (o quadrado de 2) no quadrante inferior direito. Esse número será importante para o nosso próximo passo.

Subtrair o número que você acabou de calcular o número na extremidade esquerda. Como uma divisão, o próximo passo é subtrair a praça acabou de encontrar o número na extrema esquerda. Escreva este número abaixo da primeira metade e subtrair, escrevendo a resposta abaixo.

No nosso exemplo, nós escrevemos 4 abaixo de 7, em seguida, subtrair A resposta nos dá 3.

Continua com a próxima parte do número. Mova o seguinte "bloco" números na frente do número que você tem para resolver subtração. Em seguida, multiplique o número no quadrante superior direito por dois e escrever a resposta no quadrante inferior direito. Ao lado do número que acabou de escrever, deixe um espaço para um problema de multiplicação será feito na próxima etapa, utilizando o formulário `"_ × _ ="`.

No nosso exemplo, o número do bloco seguinte é "80". escrever "80" 3 ao lado no quadrante esquerdo. Em seguida, multiplicar o número no canto superior direito para dois. Este número é 2, então temos que 2 × 2 = 4. Escrever "«4"`No quadrante inferior direito, seguido de _ × _ =.

Preencher os espaços em branco no quadrante direito. Você deve preencher os espaços em branco no quadrante direito com o mesmo número inteiro. Este número deve ser o maior número inteiro de nós como um resultado da multiplicação no quadrante direito inferior ou igual ao número o número indicado no quadrante esquerdo.

No nosso exemplo, se colocarmos um 8 os espaços em branco, obtemos 4 (8) × 8 = 48 × 8 = 384. 384 é um número maior que 380. Portanto, 8 é um número muito grande, mas o 7 provavelmente servir. Introduza 7 os espaços em branco e executa a operação: 4 (7) × 7 = 329. Podemos usar 7, porque 329 é inferior a 380. Write 7 no quadrante superior direito. Este é o segundo dígito da raiz quadrada de 780,14.

Subtrair o número que você tem o número encontrado no quadrante esquerdo. Continua a aplicar e resolver o algoritmo. Leva o resultado da multiplicação do quadrante direito e subtrair o número listado à esquerda, escrevendo a resposta para isso permanece abaixo do número.

No nosso exemplo, iremos subtrair 329 a partir de 380, o que resulta em 51.

Repita o passo 4. Abaixe o próximo bloco de números. Quando você chegar ao número decimal, digite um ponto decimal na resposta quadrante superior direito. Em seguida, multiplicar o número no canto superior direito por 2 e escrevê-lo ao lado do sistema em branco multiplicação ("_ _ ×") Tal como anteriormente.

No nosso exemplo, uma vez que encontrar o ponto decimal de 780,14, escrevemos o ponto decimal depois do último número da nossa resposta actual no canto superior direito. Em seguida, abaixe os outros números de blocos (14) no quadrante esquerdo. O número na parte superior direito (27) multiplicado por 2 nos dá 54, então escrever "54 _ × _ =" no quadrante inferior direito.

Repita o passo 5 e 6. Encontre o maior inteiro de nós como uma resposta maior ou igual ao número à esquerda, para colocá-lo no número em branco. Em seguida, executa a operação.

Neste caso, 549 × 9 = 4,941, o que é menos do que ou igual ao número de (5114) número à esquerda. 549 x 10 = 5490, que é um número maior que 9 5114- assim como o número que usamos para preencher os espaços em branco. Escrever 9 como o próximo dígito no quadrante superior direito e subtrai o resultado da multiplicação do número à esquerda: 5114 menos 4941 é de 173.

Para continuar a calcular dígitos, adicionar um par de zeros no quadrante esquerdo e repita os passos 4, 5 e 6. Para maior precisão, continua a repetir o processo para encontrar mais casas decimais na resposta. Repita o processo até encontrar uma exata ou até encontrar o número de casas decimais que você deseja responder.

Entende como funciona o processo

Pense sobre o número que você deseja obter a raiz quadrada como a área de S de um quadrado. Uma vez que a área de um quadrado é igual a L, onde L é o comprimento de um lado ao tentar calcular a raiz quadrada do número, que é tentar calcular o comprimento do lado do quadrado L.

Atribui letras para expressar cada dígito da resposta. Atribui a variável A para o primeiro dígito do L (a raiz quadrada está tentando descobrir). A letra B será o segundo dígito, a letra C será o terceiro, e assim por diante.

Atribui letras para cada "bloco" números. Atribui a variável S_para o primeiro par de dígitos de S (número inicial), S_b o segundo par de dígitos, etc.

Entenda como este método se conecta à divisão. Este método de encontrar a raiz quadrada de um número é basicamente um problema de divisão que divide o número de sua raiz quadrada, o que nos dá a sua resposta raiz quadrada. Semelhante a um problema de divisão (em que você trabalha com um dígito de cada vez), aqui trabalhando em dois dígitos ao mesmo tempo (que correspondem ao dígito seguinte da raiz quadrada).

Encontrar o maior número cujo quadrado é menor do que ou igual a S_para. O primeiro dígito na nossa resposta é o maior inteiro cujo quadrado é menor do que ou igual a S_para (O que significa que o valor de A para A² Sa ≤ lt; (A + 1) ²). No nosso exemplo, S_para = 7, e 2½ ≤ 7 lt; 3², então A = 2.

Note-se que se, por exemplo, queria dividir 88962 por 7, o primeiro passo seria semelhante: o primeiro dígito de 88962 (8) seriam tomadas e o maior número multiplicado por 7 descoberta, é menor do que ou igual a 8. Basicamente, você quer encontrar d a 7 x 8 d ≤ lt; 7 x (d + 1). Neste caso, d seria igual a um.

Apresenta o quadrado junto com sua área. A resposta (a raiz quadrada do número) é L, é igual ao comprimento de um quadrado com uma área S (o número que você quer tirar a raiz quadrada). Os valores para A, B, C, representam os dígitos no valor de L Uma outra maneira de olhar para ele é para obter uma resposta de 2 dígitos L = 10A + B, enquanto que para uma resposta de 3 dígitos L = 100A + 10B + C, e assim por diante.

No nosso exemplo, (10A + B) ² = L = S = 100A² + 2 × 10A × B + B². Lembre-se que 10A + B representa nossa resposta L com B na posição de unidades e A na posição dez. Por exemplo, com a = 1 e B = 2, 10A + B é igual a 12. (10A + B) ² é a área ao redor da praça, enquanto 100A² É a maior área de quadrado dentro do próprio quadrado, B² É a área do quadrado menor, e 10A × B É a área de cada um dos rectângulos restantes. Através deste processo longo e complicado, encontramos a área da soma quadrada das áreas dos quadrados e retângulos menores que podem ser criados dentro da própria praça.

A² subtração de S_para. Abaixo de um par (S_b) Dígitos de S. S_para S_b É igual a quase toda a área da praça, que acaba de subtrair a área do maior praça interior. A parte restante pode ser expressa como o número N1, que obtido no passo 4 (N1 = 380, no nosso exemplo). N1 seja igual a 2 × 10A × B + B² (a área dos dois rectângulos mais a área do quadrado menor).

N1 = 2 × 10A × B + B², ou também pode ser escrita como N1 = (2 × 10A + B) x B. No nosso exemplo, nós sabemos N1 (380) e A (2), por isso temos de encontrar B. Provavelmente B não é um inteiro, então você tem que encontrar o maior número inteiro B de modo que (2 × 10A + B) × B ≤ N1. Portanto, temos o seguinte: N1 lt; (2 x 10 + (B + 1)) x (B + 1)).

Executa operações. Para resolver esta equação, multiplica A por 2, insere a posição das dezenas (que é o equivalente a multiplicar por 10), colocado em posição as unidades B, e multiplicando-se o número resultante por B. Por outras palavras, resolvidos ( 2 x 10A + B) × B. Este é exatamente o que você faz na etapa 4 quando você escreve "× N_ _ =" (Com n = 2 × A) no quadrante inferior direito. Na etapa 5, você é o maior inteiro B que encontra-se com (2 x 10A + B) × N1 B ≤.

Subtrair a área (2 x 10A + B) x B da área total. Isto dá resultados na área S- (10A + B) ainda não ² representada (que usaremos para calcular os outros dígitos de forma semelhante).

Para calcular o próximo dígito C, repita o processo. Derrubar o próximo bloco (S_c) De S obter N2, à esquerda, e encontrar o maior inteiro S para (2 x 10 × (10A + B) + C) × C ≤ N2 (equivalente a introduzir o número de dois dígitos "A B" 2, seguido pela "_ × _ =". Pesquisar o maior inteiro de nós como uma resposta inferior ou igual a número N2, e coloque-os espaços em branco.

dicas

Mova o ponto decimal duas posições dentro do número de deslizamento (fator de 100), mova o ponto decimal uma posição na sua raiz quadrada (factor de 10).
No exemplo, 1,73 é considerado ser um "resíduo": 780,14 + 1,73 = 27.9².
Este método funciona para os números em qualquer base, não apenas para números na base 10 (decimal).
Sinta-se livre para apresentar a resposta da maneira que você sente mais confortável. Algumas pessoas escrevem o resultado do número de raízes acima.
Um método alternativo para encontrar a raiz quadrada de um número usando frações contínuas é: √z = √ (x ^ 2 + y) = x + y / (2x + y / (2x + y / (2x + ... ))). Por exemplo, para calcular a raiz quadrada de 780,14, o número inteiro cujo quadrado é mais estreita 780,14 28 é, por conseguinte, z = 780,14, x = 28, e "e"= -3,86. Ao resolver abordagem e trazer o machado + y / (2x), obtemos a expressão (em termos simples) 78207/2800 ou cerca de 27 931 (1) - o próximo mandato, 4374188/156607 ou em torno de 27,930986 (5) Cada termo acrescenta aproximadamente 3 precisão decimal ao longo do prazo anterior.

avisos

Certifique-se de separar os números em pares a partir do ponto decimal. Separada 79,520,789,182.47897 como "79 52 07 89 18 2.4 78 97" Nós irá resultar num número inútil.