Encontrar o ângulo entre dois vetores: 12 Steps

2 partes:Encontre o ângulo entre dois vetores Definir a fórmula ângulo

Matemáticos e programadores gráficos muitas vezes precisam de encontrar o ângulo entre dois vetores dados. Felizmente, a fórmula para este cálculo não requer nada mais avançado do que um produto escalar. Embora seja mais fácil entender o raciocínio por trás disso em duas dimensões, você pode estender a fórmula para os vetores com qualquer número de componentes.

parte 1Encontre o ângulo entre dois vetores

Identifica vetores. Anote todas as informações que você tem sobre os dois vetores. Aqui pode assumir que apenas a definição do vector em termos das suas coordenadas tridimensionais (também chamados componentes). Se você já sabe o comprimento de um vector (magnitude), você pode ignorar alguns dos passos abaixo.

Exemplo: o vector bidimensional ${ Displaystyle { overrightarrow {u}}}$ = (2,2). vetor ${ Displaystyle { overrightarrow {v}}}$ = (0,3). Estes também pode ser escrita como ${ Displaystyle { overrightarrow {u}}}$ 2 =Eu + 2j e ${ Displaystyle { overrightarrow {v}}}$ = 0Eu + 3j = 3j.
Enquanto o exemplo utiliza vectores bidimensionais, as instruções abaixo vectores incluir qualquer número de componentes.

Insira a fórmula do cosseno. Para encontrar o ângulo entre dois vectores θ começa com a fórmula para o co-seno do ângulo de. Você pode aprender esta fórmula na próxima seção do artigo, ou simplesmente escrevê-lo:

cos = ( ${ Displaystyle { overrightarrow {u}}}$ • ${ Displaystyle { overrightarrow {v}}}$ ) / (|| ${ Displaystyle { overrightarrow {u}}}$ || || ${ Displaystyle { overrightarrow {v}}}$ ||)
|| ${ Displaystyle { overrightarrow {u}}}$ || meios "o comprimento do vector ${ Displaystyle { overrightarrow {u}}}$ ".
${ Displaystyle { overrightarrow {u}}}$ • ${ Displaystyle { overrightarrow {v}}}$ é o produto escalar (ou produto escalar) dos dois vectores é explicado abaixo.

Calcular o comprimento de cada vector. Desenhe um triângulo que começa a partir do vetor "x", a sua componente "e" componente vector ea mesma coisa. O vector constitui a hipotenusa do triângulo, de modo a encontrar o seu comprimento vai usar o Teorema de Pitágoras. Como resultado, essa fórmula é facilmente estendido para os vectores com qualquer número de componentes.

||ou|| = u₁ + ou₂. Se uma tabela tiver mais de dois componentes, simplesmente continua a adicionar + u₃ + ou₄ + ...
Portanto, para um vector bidimensional, ||ou|| = √ (u₁ + ou₂).
No nosso exemplo, || ${ Displaystyle { overrightarrow {u}}}$ || √ = (2 + 2) = √ (8) = 2√2. || ${ Displaystyle { overrightarrow {v}}}$ || = √ (0 + 3) = √ (9) = 3.

Calcular o produto escalar dos dois vectores. Você provavelmente já aprendeu este método de multiplicação de vetores, também conhecido como produto escalar. Para calcular o produto escalar em termos de componentes de vectores, multiplicar os componentes em cada direcção e depois somar todos os resultados.

Para os programas de computação gráfica, consulte a seção Dicas antes de continuar.
Em termos matemáticos, ${ Displaystyle { overrightarrow {u}}}$ • ${ Displaystyle { overrightarrow {v}}}$ = u₁v₁ + ou₂v₂, onde u = (u₁, ou₂.) Se a tabela tem mais de dois componentes, simplesmente continua a adicionar + u₃v₃ + ou₄v₄...
No nosso exemplo, ${ Displaystyle { overrightarrow {u}}}$ • ${ Displaystyle { overrightarrow {v}}}$ = u₁v₁ + ou₂v₂ = (2) (0) + (2) (3) = 0 + 6 = 6. Este é o produto do vetor ponto ${ Displaystyle { overrightarrow {u}}}$ e ${ Displaystyle { overrightarrow {v}}}$ .

Substitui os resultados na fórmula. Lembre-se, cos = (( ${ Displaystyle { overrightarrow {u}}}$ -• ${ Displaystyle { overrightarrow {v}}}$ ) / (|| ${ Displaystyle { overrightarrow {u}}}$ || || ${ Displaystyle { overrightarrow {v}}}$ ||.) Agora você sabe o produto escalar e os comprimentos de cada valor. Introduzir estes resultados nesta fórmula para calcular o co-seno do ângulo.

No nosso exemplo, COS = 6 / (2√2 * 3) = 1 / √2 = √2 / 2.

Halla ângulo com base na co-seno. Você pode usar a função acos ou cos sua calculadora para encontrar a θ ângulo de um valor conhecido cos. Para alguns resultados, você pode resolver o ângulo com base no círculo unitário.

No nosso exemplo, cos = √2 / 2. Escrever "arcos (√2 / 2)" na sua calculadora para encontrar o ângulo. Você também pode encontrar o θ ângulo no círculo unitário, onde cos = √2 / 2. Isto é verdade para θ = /₄ ou 45.
Para unir tudo isso, a fórmula final é: θ = ângulo de arco seno (( ${ Displaystyle { overrightarrow {u}}}$ • ${ Displaystyle { overrightarrow {v}}}$ ) / (|| ${ Displaystyle { overrightarrow {u}}}$ || || ${ Displaystyle { overrightarrow {v}}}$ ||))

parte 2Definir a fórmula ângulo

Entender a finalidade desta fórmula. Esta fórmula não foi derivado de regras existentes. Em vez disso, ele foi criado como uma definição de produto escalar dos dois vectores e o ângulo entre eles. No entanto, esta decisão não foi arbitrária. Se lembrarmos a geometria básica, podemos ver por resultados esta fórmula em definições intuitivas e úteis.

Os exemplos descritos abaixo utilizam vetores D porque eles são mais intuitivo de usar. Vectores com três ou mais componentes têm propriedades que são definidos por uma fórmula muito semelhante.

Verifique o teorema de cosseno. Tomar um triângulo regular com o ângulo θ entre os lados a e b, e c, no lado oposto. Cosine Teorema indica que c = a + b -2abcos(Θ). Isto é pura e simplesmente derivado geometria básica.

Conectar dois vectores para formar um triângulo. Desenhe um par de 2D papel vetores, vetores&# 8407- e ${ Displaystyle { overrightarrow {b}}}$ ,com θ ângulo entre eles. Desenhar um terceiro vector entre eles para formar um triângulo. Em outras palavras, desenhe um vetor c&# 8407 como ${ Displaystyle { overrightarrow {a}}}$ + ${ Displaystyle { overrightarrow {c}}}$ = ${ Displaystyle { overrightarrow {b}}}$ .este vector ${ Displaystyle { overrightarrow {c}}}$ = ${ Displaystyle { overrightarrow {a}}}$ - ${ Displaystyle { overrightarrow {b}}}$ .

Faça o teorema cosseno a este triângulo. Introduzir o comprimento dos lados do nosso "triangulo vector" no teorema de co-seno:

||(A - b)|| = ||para|| + ||b|| - 2||para|| ||b||cos(Θ)

Escrevê-lo usando o produto escalar. Lembre-se que um produto escalar é a ampliação de um vetor é projetada sobre outro. O produto escalar de um vector, por si só não necessita de qualquer saliência, porque não há nenhuma diferença no sentido. Isto significa que&# 8407- • ${ Displaystyle { overrightarrow {a}}}$ = ||para||. Usa essa informação para reescrever a equação:

( ${ Displaystyle { overrightarrow {a}}}$ - ${ Displaystyle { overrightarrow {b}}}$ ) • ( ${ Displaystyle { overrightarrow {a}}}$ - ${ Displaystyle { overrightarrow {b}}}$ ) = ${ Displaystyle { overrightarrow {a}}}$ • ${ Displaystyle { overrightarrow {a}}}$ + ${ Displaystyle { overrightarrow {b}}}$ • ${ Displaystyle { overrightarrow {b}}}$ -2||para|| ||b||cos(Θ)

Reescrevê-lo na fórmula familiar. Expande-se o lado esquerdo da fórmula e, em seguida, simplificada para se obter a fórmula utilizada para encontrar ângulos.