Como calcular a transformada de laplace de uma função

4: Métodos

terminologiaResolver o transformoufunções descontínuasUsando as propriedades das transformadas de Laplace

A transformada de Laplace é transformar uma integral que permite uma equação diferencial torna-se uma equação algébrica simples (espero), tornando-o mais fácil de resolver.

Enquanto você pode usar tabelas de transformadas de Laplace, não é uma má idéia para saber como transformar-se.

passos

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Saber se você está tentando encontrar a transformada de Laplace da função unilateral ou bilateral. Se o tipo de transformada de Laplace não for especificado, você pode supor que você deve calcular a versão unilateral.

• Uma face de Laplace transformação é definido como:

Um Laplace bilateral transformação é definido como:

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Entre na função, f (t), na definição da transformada de Laplace.

método 1terminologia

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Note-se a "transformadas de Laplace". Em parte, é um sistema para a conversão de relações de domínio em um conjunto dependente do tempo das equações expressa em termos de o operador de Laplace s. Em seguida, o "manipulações complexas álgebra" afectar a solução do problema original no domínio de Laplace ou s em vez de domínio do tempo:

• Aplicar a transformada de Laplace é análogo ao uso de logaritmos para simplificar certos tipos de operações matemáticas. Usando logaritmos, números tornam-se potências de 10 ou e (logaritmos naturais). Como resultado das transformadas, multiplicações e divisões que são substituídos por adição matemática e subtracção, respectivamente.

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Do mesmo modo, aplicar a transformada de Laplace para a análise de sistemas que pode ser descrito nas equações diferenciais ordinárias lineares no domínio do tempo ultrapassa algumas das complexidades encontrados em resolver essas equações no domínio do tempo. Além disso:

• A transformada de Laplace envolve a integração de 0 a infinidade de uma variável de tempo f (t) que se chegou multiplicando f (t) por e.
• f (t) é aplicada a função a ser definida para todos os valores positivos t.
• s é uma algébrica complexa variável definida como s = a + J!, onde J = sqrt (-1), assim que você vai usar em números de peça imaginário.

• o símbolo Eu (j em engenharia elétrica) é usado para representar √ -1. Portanto, por exemplo, √ (-4) = 2Eu. O número chamado Eu, ou 1Eu ou xi, ele é simplesmente chamado de número imaginário.

Um uso para o plano complexo conhecido como o plano s É para visualizar as raízes da equação graficamente descreve o comportamento de um sistema (a equação característica). A equação é geralmente expressa como um polinómio no parâmetro s da transformada de Laplace. Por conseguinte, sabe-se que o avião s.

O plano complexo utilizando diagramas que mostram a Argand plano z, onde z = x + iy e pode utilizar transformado z além de Laplace transforma. No processamento de matemática e de sinal, a transformação z torna-se um sinal discreto no domínio do tempo, que é uma sequência de números reais e complexos, numa representação em domínio de frequência complexo. Pode-se considerar como um equivalente discreto do tempo transformada de Laplace. Esta semelhança é explorado em teoria cálculo da escala de tempo. Através da transformação bilinear, o plano complexo s (Transformada de Laplace) é mapeado no plano complexo z (Transform z.)

Z = a + ib, R = E ^ (i teta), para = Parte real de z, b = Parte imaginária de z, r = Módulo z, theta = Argumento z, e para e b Eles são números reais. Enquanto este mapeamento é (necessariamente) não linear, que é útil no sentido que mapeia todo o eixo jw avião s no círculo unitário no plano z- ou seja, o eixo jw É na região convergência da transformada de Laplace.

método 2Resolver o transformou

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Realiza a integração usando a integração por partes. Dependendo da função f (t), você pode ter que realizar a integração por partes, muitas vezes, a fim de integrar plenamente o integral.

Se você vai para calcular a Laplace bilateral transformar, substituir a 0 com -∞

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Adicione os limites para o resultado. Escrever substituindo equação t infinito, em seguida, escrever o resultado negativo da mesma equação, desta vez substituindo t 0. Simplifica com este possível, lembrando-se os seguintes valores:

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Verifique a sua resposta usando uma tabela de transformadas de Laplace.

método 3funções descontínuas

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Uma função descontínua pode ser escrita como:

onde c É uma constante e para e b Eles podem ser constantes ou funções t. Embora este exemplo tem apenas duas partes, pode haver um número finito deles.

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Digite a soma das transformadas de Laplace de cada parte da função descontínua usando os limites especificados em vez do habitual 0 a ∞.

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Calcule a Laplace como mostrado acima. Lembre-se de substituir os limites corretos em vez de 0 e ∞.

Este exemplo assume que para e b Eles são mais estáveis ​​e o resultado será mais complicada, se eles são funções t

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Simplifica o resultado possível.

método 4Usando as propriedades das transformadas de Laplace

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Tente obter uma transformada de Laplace de uma função se assemelha outra função ou mais de um cuja transformou-se saber. Por exemplo:

• A transformada de Laplace de uma combinação linear de funções é a mesma combinação linear para a transformada de Laplace.
• A transformada de Laplace tf (t) É igual a -F `(s), onde F (s) é a transformada de Laplace f (t) e F `(s) é o seu derivado ..
• A transformada de Laplace f `(t) É igual a sF (s) -f (0).
• A transformada de Laplace e ^ (at) f (t) É igual a F (s-a).
• A transformada de Laplace de uma convolução de duas funções F e g É igual ao produto das suas transformadas de Laplace.

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Use as diferentes propriedades conhecidas do Laplace transforma derivar-los usando as etapas acima. Também é útil para saber o significado por trás de cada propriedade.

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Examina esta declaração geral simplificada: "A transformada de Laplace f (t) Ela é igual à função F de s" e escreve:Laplace {f (t)} = M (s).

• Da mesma forma, a transformada de Laplace da função G (t) Ele seria escrito: Laplace {g (t)} = G (s).

dicas

• Laplace têm muitas aplicações em matemática, física, ótica, engenharia elétrica, engenharia de controle, processamento de sinal e teoria da probabilidade. Foi inventado por volta de 1872 em um trabalho sobre probabilidade. Na física, ele é usado para analisar sistemas lineares, tais como circuitos elétricos, osciladores harmônicos, dispositivos ópticos e sistemas mecânicos.