Como para calcular a transformada de fourier de uma função

transformadas de Fourier pode facilmente compreendido se certos passos com um ritmo bem organizado seguido. transformadas de Fourier são a base de muitas partes da civilização moderna. Estes incluem a comunicação móvel e fotografia digital, lasers e óptica. A transformada de Fourier tem ramificações em outras ferramentas, como as transformadas de Fourier discretas, ondaletas (conhecido por ser usado em arquivos JPEG e MPEG), reconhecimento de padrões, finanças, verifica médicos e muitos outros usos.

passos

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Saiba o que é uma função periódica. Uma função periódica, reitera a sua forma, em um intervalo de tempo conhecido. Isto é, F ( t ) = F ( t + nt), onde n é um número inteiro qualquer.

  • Estes intervalos são chamados períodos. Na relação acima, T É o período.

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Saiba a idéia básica da transformada de Fourier em sua própria língua.

  • Qualquer função periódica pode ser decomposto, podem ser escritas em termos de um número de funções de base com períodos sinusóides simples.
  • Cada função sinusoid tem a frequência de um número inteiro que é um múltiplo da frequência básica.

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A equação acima diz que qualquer função periódica pode ser escrito ou expandir como a soma de:

  • valor constante, 1/2para0, também chamado o valor DC, e um número de funções sinusoidais. Dependendo da função original de expansão pode ser zero.
  • ω0 é a frequência de base circular, que pode ser facilmente calculada a partir do período de base T.
  • Resta apenas para calcular para0 e uma fórmula para criar o conjunto paran e definir bn. Você pode fazer isso usando a propriedade de ortogonalidade das funções sinusoid.

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Saiba o significado de funções "ortogonal". funções ortogonais são perpendiculares uns aos outros. Isto significa que se você tomar quaisquer duas funções, digamos F ( t ) e g ( t ), um conjunto deles, então:

ortogonalidade

  • As funções são sinusóides um grupo similar de funções ortogonais.
  • Compare isso com a noção básica de vetores perpendiculares, onde o produto escalar é zero. O produto escalar é a soma dos produtos de componentes em pares de dois vectores. Aqui, em vez de o montante a ser calculado integral.

    • 5

    Saber a diferença entre um "vetor" e um "fasor".

    • Um vector transporta um ponto em uma linha reta para algum outro ponto.
    • Um fasor gira um vetor em torno de um ponto com uma certa frequência circular ω. Um fasor é um vector de rotação.



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    Note-se que, quando um vector de comprimento fixo é rotativa em torno de um ponto, a sua projecção, a sua sombra sobre o eixo real muda gradualmente a partir de um valor máximo até zero e em seguida a um máximo número negativo e volta novamente a zero e novamente um valor máximo positivo.

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    O comprimento da projecção do vector de rotação, protegido no eixo imaginário, uma sinusóide alterações de forma.

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    Conclui-se que uma senóide pode ser escrito como um fasor e, portanto, é mais fácil de gerir uma série de Fourier. Compare isto com a forma sinusoid. todas as preocupações para0, paran e bn Elas foram removidas. Não é apenas um fator parak deve ser calculado. Isto é realizado por meio do cálculo de um simples integrante F ( t ) Ele está fornecendo todos os coeficientes simultaneamente.

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    interpreta expansão F ( t ). O que não é conhecida nesta expansão?

    • Você precisa calcular um número infinito de fatores parak.
    • Todos os fatores parak Eles podem ser facilmente calculada a partir da integração de F ( t ) para resultar em toda a eles.
    • Em vez da expressão "conjunto"A notação é usada uma {k }.
    • {umk } Sabe-se que o espectro F ( t ).
  • F ( t ) Na verdade, é a síntese de um número infinito de diferentes comprimentos rotativas fasor com freqüências que estão em harmonia com a freqüência básica ω0 de F ( t ) em ambos os sentidos, no sentido dos ponteiros do relógio e no sentido contrário, como k perambula entre ambos inteiros negativos como entre o positivo.

    • 10

    Consulte o par de fórmulas como uma transformada em vez de como uma expansão em série. Quando você tem F ( t ), então você tem parak. E, inversamente, quando você tem parak, obter F ( t ). valores parak Eles são transformar F ( t ). O valor de F ( t ) É a transformada inversa parak. Isto escreve-se:

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    Nota: pode parecer que há dois domínios. F ( t ) é no domínio do tempo, mas os factores parak Eles são do domínio de inteiros. Por conseguinte, a expansão de Fourier transforma um domínio de outra, e vice-versa.

    • Por esta razão, diz-se que esta é uma transformada "contínua em vez".
    • Pessoas que estudam as ondas usando um osciloscópio para observar a onda contínua ao longo do tempo e usar um analisador de espectro para observar as linhas ou onda espectros em questão.

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    Observe o exemplo mais comum. Este é um obturador rectangular que se abre e fecha regularmente. Ou ela pode ser um relógio regularmente, colocando um selo de tempo para um evento. É um trem de pulsos de duração determinada.

    • Este é o exemplo mais fácil pode-se calcular usando conhecimento de cálculo na escola, porque, dentro do integral, F ( t ) É igual a um para uma parte igual a zero e em outros lugares, e deve calcular o integral de uma função exponencial, que é igual a si mesmo, independentemente do coeficiente. Nesse nível, você está familiarizado com a conversão de uma função exponencial complexa em um sinusoid. O que resta é o que é uma função sincronizar. simplesmente sincronizar ( X ) = sem ( X ) / X. Isto modifica a dimensão de uma função sinusóide para atingir o seu ângulo, semelhante a uma percentagem.

    função sinc como a curva

  • Desenhar a curva |parak | para apreciar seus saltos morrendo.
  • cada "lóbulo" O recurso de sincronização é preenchido com um certo número de linhas do espectro.
  • Faça cada pulso "trem" torna mais estreito aumentar o número de linhas do espectro, e este é mais denso e parece que, na verdade, uma função sinc contínua e não mais discreta.

    • 13

    Apreciar que você está olhando agora para a expansão da série de Fourier de uma função periódica como uma transformada de dois domínios. O que resta é para observar o que é a transformação de uma função não-periódica.

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    Ratifica sua expectativa de que a expansão de uma função não é periódica sob a forma de uma integral em vez de uma soma.

    • Está certo que este é o integral contraste Fourier para série De Fourier.

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    Portanto, a transformada de Fourier para funções de tempo contínuo pode ser uma série de Fourier ou integral de Fourier.

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    Considere-se um único pulso retangular. Você pode ver que, se um obturador pulso retangular é aberta e fechada apenas uma vez. Ou se um motor de passo está ligado e, em seguida, desligado.

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