Como para calcular a transformada de fourier de uma função

transformadas de Fourier pode facilmente compreendido se certos passos com um ritmo bem organizado seguido. transformadas de Fourier são a base de muitas partes da civilização moderna. Estes incluem a comunicação móvel e fotografia digital, lasers e óptica. A transformada de Fourier tem ramificações em outras ferramentas, como as transformadas de Fourier discretas, ondaletas (conhecido por ser usado em arquivos JPEG e MPEG), reconhecimento de padrões, finanças, verifica médicos e muitos outros usos.

passos

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Saiba o que é uma função periódica. Uma função periódica, reitera a sua forma, em um intervalo de tempo conhecido. Isto é, F ( t ) = F ( t + nt), onde n é um número inteiro qualquer.

• Estes intervalos são chamados períodos. Na relação acima, T É o período.

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Saiba a idéia básica da transformada de Fourier em sua própria língua.

• Qualquer função periódica pode ser decomposto, podem ser escritas em termos de um número de funções de base com períodos sinusóides simples.
• Cada função sinusoid tem a frequência de um número inteiro que é um múltiplo da frequência básica.

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A equação acima diz que qualquer função periódica pode ser escrito ou expandir como a soma de:

• valor constante, 1/2para₀, também chamado o valor DC, e um número de funções sinusoidais. Dependendo da função original de expansão pode ser zero.
• ω₀ é a frequência de base circular, que pode ser facilmente calculada a partir do período de base T.
• Resta apenas para calcular para₀ e uma fórmula para criar o conjunto para_n e definir b_n. Você pode fazer isso usando a propriedade de ortogonalidade das funções sinusoid.

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Saiba o significado de funções "ortogonal". funções ortogonais são perpendiculares uns aos outros. Isto significa que se você tomar quaisquer duas funções, digamos F ( t ) e g ( t ), um conjunto deles, então:

ortogonalidade

As funções são sinusóides um grupo similar de funções ortogonais.

Compare isso com a noção básica de vetores perpendiculares, onde o produto escalar é zero. O produto escalar é a soma dos produtos de componentes em pares de dois vectores. Aqui, em vez de o montante a ser calculado integral.

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Saber a diferença entre um "vetor" e um "fasor".

• Um vector transporta um ponto em uma linha reta para algum outro ponto.
• Um fasor gira um vetor em torno de um ponto com uma certa frequência circular ω. Um fasor é um vector de rotação.

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Note-se que, quando um vector de comprimento fixo é rotativa em torno de um ponto, a sua projecção, a sua sombra sobre o eixo real muda gradualmente a partir de um valor máximo até zero e em seguida a um máximo número negativo e volta novamente a zero e novamente um valor máximo positivo.

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O comprimento da projecção do vector de rotação, protegido no eixo imaginário, uma sinusóide alterações de forma.

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Conclui-se que uma senóide pode ser escrito como um fasor e, portanto, é mais fácil de gerir uma série de Fourier. Compare isto com a forma sinusoid. todas as preocupações para₀, para_n e b_n Elas foram removidas. Não é apenas um fator para_k deve ser calculado. Isto é realizado por meio do cálculo de um simples integrante F ( t ) Ele está fornecendo todos os coeficientes simultaneamente.

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interpreta expansão F ( t ). O que não é conhecida nesta expansão?

• Você precisa calcular um número infinito de fatores para_k.
• Todos os fatores para_k Eles podem ser facilmente calculada a partir da integração de F ( t ) para resultar em toda a eles.

• Em vez da expressão "conjunto"A notação é usada uma {_k }.
• {um_k } Sabe-se que o espectro F ( t ).

F ( t ) Na verdade, é a síntese de um número infinito de diferentes comprimentos rotativas fasor com freqüências que estão em harmonia com a freqüência básica ω₀ de F ( t ) em ambos os sentidos, no sentido dos ponteiros do relógio e no sentido contrário, como k perambula entre ambos inteiros negativos como entre o positivo.

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Consulte o par de fórmulas como uma transformada em vez de como uma expansão em série. Quando você tem F ( t ), então você tem para_k. E, inversamente, quando você tem para_k, obter F ( t ). valores para_k Eles são transformar F ( t ). O valor de F ( t ) É a transformada inversa para_k. Isto escreve-se:

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Nota: pode parecer que há dois domínios. F ( t ) é no domínio do tempo, mas os factores para_k Eles são do domínio de inteiros. Por conseguinte, a expansão de Fourier transforma um domínio de outra, e vice-versa.

• Por esta razão, diz-se que esta é uma transformada "contínua em vez".
• Pessoas que estudam as ondas usando um osciloscópio para observar a onda contínua ao longo do tempo e usar um analisador de espectro para observar as linhas ou onda espectros em questão.

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Observe o exemplo mais comum. Este é um obturador rectangular que se abre e fecha regularmente. Ou ela pode ser um relógio regularmente, colocando um selo de tempo para um evento. É um trem de pulsos de duração determinada.

• Este é o exemplo mais fácil pode-se calcular usando conhecimento de cálculo na escola, porque, dentro do integral, F ( t ) É igual a um para uma parte igual a zero e em outros lugares, e deve calcular o integral de uma função exponencial, que é igual a si mesmo, independentemente do coeficiente. Nesse nível, você está familiarizado com a conversão de uma função exponencial complexa em um sinusoid. O que resta é o que é uma função sincronizar. simplesmente sincronizar ( X ) = sem ( X ) / X. Isto modifica a dimensão de uma função sinusóide para atingir o seu ângulo, semelhante a uma percentagem.

função sinc como a curva

Desenhar a curva |para_k | para apreciar seus saltos morrendo.

cada "lóbulo" O recurso de sincronização é preenchido com um certo número de linhas do espectro.

Faça cada pulso "trem" torna mais estreito aumentar o número de linhas do espectro, e este é mais denso e parece que, na verdade, uma função sinc contínua e não mais discreta.

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Apreciar que você está olhando agora para a expansão da série de Fourier de uma função periódica como uma transformada de dois domínios. O que resta é para observar o que é a transformação de uma função não-periódica.

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Ratifica sua expectativa de que a expansão de uma função não é periódica sob a forma de uma integral em vez de uma soma.

• Está certo que este é o integral contraste Fourier para série De Fourier.

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Portanto, a transformada de Fourier para funções de tempo contínuo pode ser uma série de Fourier ou integral de Fourier.

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Considere-se um único pulso retangular. Você pode ver que, se um obturador pulso retangular é aberta e fechada apenas uma vez. Ou se um motor de passo está ligado e, em seguida, desligado.