Como resolver uma equação diferencial

A equação diferencial de primeira ordem e o primeiro grau pode ser expressa na forma dx dy m + n = 0, em que M e N são funções de "x" e "y". Você deve seguir estes passos para resolver:

As equações diferenciais de ordens superiores são muito mais complexos para resolver, com exceção de alguns casos especiais, detalhadas abaixo:

1. o lei de juros compostos: a taxa de acumulação de interesse é proporcional ao débito inicial. Ou, mais geralmente, a taxa de variação no que diz respeito a uma variável independente é proporcional ao valor correspondente da função. Isto é, se y = f (t), então dy / dt = ky. Resolvendo a equação usando o método de variáveis ​​separadas, obtemos y = ce ^ (kt), onde "y" é uma soma de dinheiro que se acumula sob juros compostos, "c" é uma constante arbitrária, "k" é a taxa de juros e "t" é o tempo.
2. Note-se que lei juros compostos também se aplica a outros aspectos diários. Por exemplo, imagine que você tentar reduzir a concentração de uma solução salina por adição de água para diluir o teor de sal (deixando os conteúdos anteriores dos estouros quantidade de solução fixos). Quanta água será necessária e como ela muda adicionar a concentração de sal Em relação à água que você faz aumentado?
   
   Sean s = a quantidade de sal na solução num dado tempo, x = a quantidade de água adicionada e v = volume da solução. A concentração de sal na mistura é dada por s / v. Suponhamos agora que a Dx A solução é adicionada transbordando os conteúdos anteriores, de modo que a quantidade de sal é de transbordo (s / v) x, portanto, o aumento da quantidade de sal, Ds é dada por Ds = - ( s / v) x. Dividir ambos os lados da equação por Dx para Ds / Dx = - (s / v). Tome um limite Dx - gt; 0 e teremos ds / dx = s / v, que é uma equação diferencial da mesma forma que a taxa de juros compostos, em que "y" é agora "s", "t" torna-se "x" e o valor de "k" é -1 / v.
3. lei de resfriamento de Newton É uma outra variante da lei de juros compostos. Ele afirma que a taxa de diminuição da temperatura do corpo quando este excede a temperatura ambiente é proporcional à diferença de temperatura com o meio ambiente ultrapassa o corpo. Seja x = excesso de temperatura do corpo com respeito ao meio ambiente, t = tempo, temos dx / dt = kx, onde "k" é uma constante. A solução para esta equação diferencial é x = CE ^ (KT), em que "C" é uma constante arbitrária. Imagine essa temperatura excessiva, x, foi inicialmente de 80 ° F e 70 ° F mudanças após um minuto. Qual é o valor de "x" Dois minutos mais tarde?
   
   Sean t = tempo em minutos, x = a temperatura em excesso em graus Fahrenheit, temos 80 = ce ^ (k * 0) = c. Do mesmo modo, 70 = CE ^ (k * 1) = K ^ 80e, por conseguinte, k = ln (7/8). Assim, X = 70e ^ (ln (7/8) t) é uma solução particular para o problema. Agora substituído com t = 2, temos x = 70e ^ (ln (7/8) * 2) = 53,59 ° C após dois minutos.
4. em termodinâmica da atmosfera, pressão atmosférica p sobre as alterações do nível do mar, dependendo da altura h do nível do mar acima, uma outra variação da lei de juros compostos. A equação diferencial é aqui dp / DH = kh, em que "k" é uma constante.
5. em química, a velocidade com a qual a quantidade "x" de uma substância se transforma em um tempo "t" que depende da concentração de "a" da mistura original, que pode ser expresso como dx / dt = k forma (ax), onde "k" é a velocidade que você ganha. Se as notas (x) / dt = k (x) leva a d (X) / (x) = -kdt, pode integrar para ln (x) = kt + para que x = 0 quando t = Para . na reorganização da equação, temos uma outra variante da lei de juros compostos, na forma k = (1 / t) ln (a / (x)).
6. No eletromagnetismo, dado circuito elétrico com tensão V e corrente Eu (Em amperes), tensão V Ele é dado pela resistência R (Em ohms) da indução de circuitos L, pela equação V=iR + L (di / dt) ou di / dt = (V - iR) /L. Esta é uma outra variante da lei de juros compostos, onde V - iR Agora é a variável dependente.
7. Em acústica, num vibração harmônica simples, aceleração é directamente proporcional ao negativo da distância. Como você se lembra, a aceleração é a segunda derivada da distância, de modo ds/dt + ks = 0, onde s = Distância, t = Tempo k É o valor da aceleração da unidade de distância. Esta é a equação harmónico simples, equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes, como mostrado na Figura 6 resolvidos, as equações (9) e (10). A solução é s = c₁cos kt + c₂sen kt.
   
   , A simplificá-lo, você também pode definir c₁ = B pecado A, c₂ = B cos A. Subtitúyelos para que b sin A cos kt + b cos A kt pecado. Lembre-se de trigonometria que sin (x + y) = sin x cos y + cos x pecado e, portanto, a expressão se reduz a s = Sin B (kt + A). A onda que segue a equação harmônico simples é entre b e -b, com período 2π /k.
8. primavera vibrante: Coloque um objeto com uma massa m em uma mola vibrante. Pela lei de Hooke, em que a mola é esticada ou comprimida s unidades naturais de comprimento (ou vertical) exerce uma força de retorno F proporcional s ou F = -ks. Ao segunda lei de Newton (força é igual a aceleração vezes a massa), temos m ds/dt = -ks ou m ds/dt + ks = 0, que é uma expressão da equação harmónico simples.
9. vibrações amortecidas: Tendo em conta o exemplo acima primavera vibrante, com uma força de amortecimento. A força de amortecimento é qualquer efeito, tal como o atrito, o que tende a reduzir a amplitude das oscilações num oscilador. Por exemplo, a almofada de um carro pode fornecer a força de amortecimento. Na maioria dos casos, esta força, F_d, Ele é aproximadamente proporcional à velocidade do objecto ou F_d = -c ds / dt, onde c É uma constante. Ao combinar a força de amortecimento da força de restauração, obtemos -ks - c ds / dt = m ds/dt, Graças a segunda lei de Newton. ou m ds/dt + c ds / dt + ks = 0. Essa equação é uma equação diferencial linear de segunda ordem e para resolvê-lo, você tem que resolver a primeira equação auxiliar mr + cr + k = 0 e depois substituído s = e ^ (RT).
   Resolvendo a fórmula quadrática, obtemos r₁ = (-c+ sqrt (c- 4mk)) / 2m- r₂= (-c - sqrt (c - 4mk)) / 2m.
10. overdamping: Se c - 4mk gt; 0, r₁ e r₂ são reais e distintos, a solução é s = c₁e ^ (r₁t) + c₂e ^ (r₂t.) Já que c, m e k Eles são positivos, sqrt (c - 4mk) Deve ser menor que c, o que implica que ambas as raízes, r₁ e r₂, Eles são negativos e que a função é decaimento exponencial. Neste caso, não haverá alguma oscilação. Deve ser, por exemplo, um óleo ou gordura de alta viscosidade que fornecem boa força de amortecimento.
11. amortecimento crítico: Se c - 4mk = 0, r₁ = r₂ = -c / 2m, a solução é s = (c₁ + c₂t) e ^ ((- c / 2m) t). Ele ainda continua a ser um decaimento exponencial sem oscilação. No entanto, a menor diminuição da força de amortecimento irá fazer com que o objecto a oscilar ao longo de equilíbrio.
12. Infraamortiguamiento: Se c - 4mk lt; 0, as raízes são complexo, dada pela c / 2m +/ - ΩEu, onde ω = sqrt (4mk - c)) / 2m. A solução é s = E ^ (- (c / 2m) t) (c₁ cos ωt + c₂ sen ωt.) Esta é uma oscilação amortecida pelo factor de e ^ (- (c / 2m) t. Uma vez que tanto c como m Eles são positivos, e ^ (- (c / 2m) t) vai chegar a zero, uma vez que t que se aproxima do infinito. Então, no final do movimento vai cair para zero.

• Nota: a área complementar cálculo diferencial é o cálculo integral, estudar a diversidade de características matemáticas das quantidades em constante variação, por exemplo, para calcular a distância (comparar com a equação d = RT) percorrida por um objecto quando as suas taxas de aumento instantâneo (velocidade) são conhecidos por um período de tempo específica.
• Muitas equações diferenciais não podem ser resolvidos com os métodos explicados neste artigo- no entanto, ele vai ajudar a encontrar a solução para equações mais comuns em que você terá de enfrentar como um estudante do cálculo diferencial.
• Substitua a solução na equação diferencial original, para ver se a igualdade é satisfeita. Se o resultado for consistente, você verá que sua resposta está correta.

• Ao contrário do que acontece no processo equação diferencial, que pode calcular a derivada de qualquer expressão, o integrante de muitos equações é simplesmente impossível encontrar. Então não perca seu tempo lutando com uma equação que não tem solução. Antes de começar a trabalhar em um novo problema, comparar as suas expressões com uma tabela de integrais para verificar se eles podem ser resolvidos. Uma equação diferencial é considerado resolvido quando tiver sido reduzida para uma expressão contendo todo, quer sejam ou não realmente pode ser integrado como um todo.

• papel
• Caneta ou lápis
• Uma tabela detalhada será útil