Como resolver sistemas de equações lineares em duas variáveis

3 Métodos:

Em um sistema de equações a ser resolvido dois ou mais equações simultaneamente. Se você está por sua vez, contêm dois diferentes, como "x" e "y" (ou mesmo "a" e "b") variáveis ​​pode ser confuso à primeira vista para determinar como resolvê-los. Felizmente, uma vez que você sabe o que tem que fazer, tudo o que você precisa são algumas habilidades de álgebra básicas (e às vezes um pouco de conhecimento de frações) para resolver este problema. Se o seu estilo de aprendizagem é visual ou se os seus pedidos de professores, você precisa aprender a representar graficamente as equações. Traçar estes podem ser úteis para "ver o que acontece", ou para verificar o seu trabalho, mas pode ser mais lento do que outros métodos e não funciona bem em todos os sistemas de equações.

método 1método de substituição

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Mova as variáveis ​​para diferentes lados da equação. Este método de "substituição" inicia "a resolução de X" (ou qualquer outra variável) numa das equações. Por exemplo, se uma das equações é 4x + 2y = 8, o primeiro passo é o de reordenar subtraindo 2y em cada lado, de modo que ficamos com: 4x = 8 - 2y.

• Geralmente, este método emprega fracções. Você pode testar o método de remoção é explicado mais tarde, se você não gosta de usar frações.

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Dividir ambos os lados da equação para "encontrar x". Depois de ter o termo x (ou qualquer outra variável que empregam) de um lado da equação, dividir ambos os lados para isolar a variável. Por exemplo:

• 4x = 8 - 2y
• (4x) / 4 = (8/4) - (2y / 4)
• x = 2 - ½y

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Substituí-lo de volta para a outra equação. Certifique-se de fazer o mesmo na outro equação, não já utilizado. Nessa equação, ele substitui a variável que você encontrou para ficar a apenas uma. Por exemplo:

• Sabendo que x = 2 - ½y,
• A segunda equação não mudou é 5x + 3y = 9.
• Na segunda equação, substituindo x "2 - ½y": 5 (2 - ½y) + 3y = 9.

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Localizar a variável restante. Agora você tem uma equação com uma única variável. As técnicas convencionais usadas álgebra para encontrar essa variável. Se as variáveis ​​são canceladas, pular para a última etapa. Caso contrário, você acaba com uma resposta a uma das variáveis:

• 5 (2 - ½y) + 3y = 9
• 10 - (5/2) y + 3y = 9
• 10 - (5/2) y + (6/2) y = 9 (Se você não entender este passo, leia o artigo "Como adicionar frações ou quebrado". Por vezes, mas nem sempre necessário para este método).
• 10 + 9 = ½y
• ½y = -1
• Y = -2

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Resposta utilizado para encontrar a outra variável. Não cometa o erro de deixar o problema semi-acabado. Você vai precisar para substituir a resposta que tem uma das equações originais para que possa encontrar a outra variável:

• Sabendo que Y = -2,
• Uma das equações é originais 4x + 2y = 8 (Você pode usar qualquer equação para esta etapa).
• Coloque -2, em vez de y: 4x + 2 (-2) = 8.
• 4x - 4 = 8
• 4x = 12
• x = 3

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Considere o que você tem que fazer quando ambas as variáveis ​​são canceladas. Quando você substitui X = 3 + 2 ou uma resposta semelhante na outra equação, tentar obter uma equação com uma única variável. Às vezes, você acaba com uma equação sem variáveis. Verifique se o seu trabalho e não se esqueça de substituir (e reordenar) a primeira equação na segunda, não só de volta para o primeiro. Se você tem certeza que não cometeu nenhum erro, você vai ter um dos seguintes resultados:

• Se você acabar com uma equação que tem variável e não é verdade (por exemplo, 3 = 5), o problema nenhuma solução (Se você gráfico ambas as equações, você vai perceber que são paralelas e nunca cruz).
• Se você acabar com uma equação sem variáveis ​​que é verdade (como 3 = 3), o problema tem infinitas soluções. Ambas as equações são exatamente iguais entre si (se ambas as equações, gráficos, você notará estão na mesma linha).

método 2método de disposição

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Localizar a variável é cancelada. Às vezes equações "cancelar" uma variável após adicioná-las. Por exemplo, através da combinação 3x + 2y = 11 e 5x - 2y = 13, o "+ 2y" e ele "2y" eles vão anular-se mutuamente, eliminando todos "e" da equação. Observe todas as equações do problema e ver se uma das variáveis ​​é cancelada desta forma. Se você não pode cancelar a qualquer um deles, leia a próxima etapa para obter mais dicas.

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Multiplique uma equação para uma variável é cancelada (pular esta etapa se as variáveis ​​já cancelada). Se as equações não são uma variável que é cancelado, naturalmente, mudar um deles para fazê-lo. Será mais fácil de entender com uma imagem:

• Você tem o sistema de equações 3x - y = 3 e -x + 2y = 4.
• Nós mudamos a primeira equação para a variável e é cancelada (você pode escolher X e você vai ter a mesma resposta no final).
• o - e na primeira equação deve ser cancelada com o + 2y na segunda equação. Podemos fazer isso através da multiplicação - e 2.
• Multiplicar ambos os lados da primeira equação a seguinte: 2 (3x - y) = 2 (3), de modo que 6x - 2y = 6. agora, a - 2y Ele será cancelado com o +2y na segunda equação.

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Ele combina as duas equações. Para combinar as duas equações, adicionar os lados da esquerda e da direita. Se nem fórmulas equação, uma das variáveis ​​a serem cancelados. Este é um exemplo que utiliza as mesmas equações como no passo anterior:

• As equações são 6x - 2y = 6 e -x + 2y = 4.
• Combina os lados da esquerda: 6x - 2A - x + 2y =
• Combina os lados da direita: 6x - 2A - x + 2y = 6 + 4.

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Localizar a última variável. Simplifica a equação combinado e então usar álgebra básica para encontrar a última variável. `Se não houver variáveis ​​depois de fazer simplificação, vai para a última etapa desta seção. Caso contrário, você deve acabar com uma resposta simples para uma das variáveis. Por exemplo:

• você tem 6x - 2A - x + 2y = 6 + 4.
• Grupos as variáveis X e e: 6x - x - 2y + 2y = 6 + 4.
• simplificar: 5x = 10
• Halla X: (5x) / 5 = 10/5, de modo que x = 2.

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Encontrar a outra variável. Você encontrou uma variável, mas você ainda não terminou. Substitua a resposta em uma das equações originais para que possa encontrar a outra variável. Por exemplo:

• Sabendo que x = 2 e que uma das equações é originais 3x - y = 3.
• Substitui 2 em vez de x: 3 (2) - Y = 3.
• Halla "e" na equação: 6 - y = 3
• 6 - y + y = 3 + y, de modo que 6 = 3 + e
• 3 e =

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Observe o que você faz quando você cancelar as duas variáveis. combinando, por vezes, as duas equações resultará em uma equação sem sentido ou, pelo menos, não ajuda a resolver o problema. Verifique a operação desde o início, mas se você cometeu um erro, escreva um dos seguintes casos como a sua resposta:

• Se a equação combinada tem variáveis ​​e não é verdadeira (como 2 = 7), nenhuma solução que funciona para ambas as equações (se você gráfico ambas as equações, você vai perceber que são paralelas e nunca cruz).
• Se a equação combinada tem variáveis ​​e é verdadeira (como 0 = 0), há infinitas soluções. As duas equações não são realmente idênticos (se o gráfico, você vê que estão na mesma linha).

método 3equações gráficas

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Utilize este método apenas quando solicitado. A menos que você use um computador ou uma calculadora gráfica, você só pode obter uma resposta aproximada a múltiplos sistemas de equações usando este método. Seu professor ou o seu livro de matemática poderia pedir-lhe para usar este método para familiarizar-se com as equações gráfico como linhas. Você também pode usar esse método para verificar as respostas de um dos outros métodos.

• A idéia básica é representada graficamente ambas as equações e encontrar o ponto onde eles se cruzam. Neste ponto, os valores de "x" e "y" nos dará os seus valores no sistema de equações.

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Resolver duas equações para y. Manter as duas equações separadas, usar seu conhecimento da álgebra para converter cada equação na forma de "y = __x + __". Por exemplo:

• A primeira equação é 2x + y = 5. alterá-lo para y = 2x + 5.
• Sua segunda equação é -3x + 6y = 0. alterá-lo para 6y = 3x + 0, em seguida, a simplifica y = 0 + ½x.
• Se ambas as equações são idênticos, a linha inteira será um "cruzamento". Escreva o infinitas soluções.

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Desenhar os eixos de coordenadas. Em uma folha de papel quadriculado, desenhe um "eixo e" uma vertical e uma horizontal "eixo x". Começando no ponto onde eles atravessam, números de etiqueta 1, 2, 3, 4, etc. movendo-se no eixo "y" e à direita no eixo "x". números de etiqueta -1, -2, etc. movendo-se para baixo do eixo "y" e à esquerda no eixo "x".

• Se você não tem papel de gráfico, use uma régua para certificar-se os números são espaçados com precisão.
• Se você usar número grande ou decimal, você pode precisar modificar a escala do gráfico (por exemplo, 10, 20, 30 ou 0,1- 0,2- 0,3 em vez de 1, 2, 3).

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Desenhar a intersecção de "e" para cada linha. Uma vez que você tem uma equação na forma y = __x + __, você pode começar a traçar-lo para desenhar um ponto onde a linha intercepta o eixo y. Este será sempre um valor e igual à última edição desta equação.

• No exemplo acima, uma linha (y = 2x + 5) Intercepta o eixo "e" 5. A outra (y = 0 + ½x) Intersects 0. Estes são os pontos (0,5) e (0,0) no gráfico.
• Use canetas ou lápis de cores diferentes para as duas linhas.

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Use a inclinação para continuar as linhas. Na forma y = __x + __, o número na frente do x é a pendente line. Cada vez que um aumento de x, o valor de "e" aumento no valor do declive. Use essas informações para traçar o ponto no gráfico para cada linha quando x = 1 (também é possível substituir x = 1 em cada equação e encontrar o valor de y).

• No nosso exemplo, a linha de y = 2x + 5 Ele tem um declive de -2. Em x = 1, a linha se move para baixo 2 pontos desde o ponto localizado em x = 0. Desenhe o segmento de linha entre (0,5) e (1,3).
• A linha y = 0 + ½x Ele tem um declive de ½. Em x = 1, a linha se move até em cima ½ ponto a partir do ponto localizado em x = 0. Desenhe o segmento de linha entre (0,0) e (1, ½).
• Se as linhas têm a mesma inclinação, eles nunca cruze, de modo que nenhuma resposta para o sistema de equações. Escreva a frase intratável.

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Continua traçando as linhas até que eles se cruzam. Parar e olhar para o gráfico. Se as linhas já foram cruzados, pule para a próxima etapa. Caso contrário, ele toma uma decisão com base no que eles fazem as linhas:

• Se as linhas são movidas uma para a outra, ainda traçando os pontos em que direção.
• Se as linhas de distância um do outro, de volta e pontos de rastreio na outra direção, começando em x = -1.
• Se as linhas são muito distantes um do outro, tentar desenhar pontos mais distantes, como em x = 10.

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Encontre a resposta no cruzamento. Uma vez que as duas linhas se cruzam, os valores de "x" e "y" neste momento são a resposta para o seu problema. Se você tiver sorte, a resposta é um número inteiro. Por exemplo, nos exemplos, as duas linhas se cruzam em (2,1) então a resposta é x = 2 e y = 1. Em alguns sistemas de equações, as linhas vão se cruzam em um valor definido entre dois inteiros e, a menos que seu gráfico é extremamente preciso, será mais difícil determinar onde está o cruzamento. Se isso acontecer, você pode escrever uma resposta como "x é entre 1 e 2" ou usar o método de substituição ou eliminação de encontrar a resposta exata.

dicas

• Você pode verificar o seu trabalho, substituindo as respostas nas equações originais. Se as equações são verdadeiras (por exemplo, 3 = 3), sua resposta está correta.
• No método de eliminação, geralmente você tem que multiplicar por um número negativo, a fim de ter uma variável que você pode cancelar.

avisos

• Você não pode usar esses métodos se há uma variável de alta como um expoente x. Para mais informações relacionadas a este tipo de equações, encontrar um guia para ajudá-lo factoring equações do segundo grau com duas variáveis.