Como fatorar um polinômio cúbico: 12 Steps

2 métodos:Factoring com o grupo Factoring usando o termo livre

Este é um artigo sobre como fatorar um polinômio de terceiro grau. Vamos explorar como fator usando o grupo, bem como a utilização de factores de liberdade de expressão.

parte 1

Factoring com o grupo

Traz o polinômio em duas seções. Agrupando o polinômio em duas seções lhe permitirá atacar cada seção separadamente.

Digamos que estamos a trabalhar com o polinômio x + 3x - 6x - 18 = 0. Agrupémoslo (x + 3x) e (- 6x - 18).

Encontre o que é comum em cada seção.

Como (x + 3x), podemos ver que x é comum.

Quanto a (- 6x - 18), podemos ver que é comum -6.

Fatorado os pontos em comum dos dois termos.

Fatorando x da primeira secção, obtém-se x (x + 3).

Factoring na segunda seção -6, -6 obter (x + 3).

Se cada um dos dois termos contêm o mesmo factor, os factores podem ser combinados em conjunto.

Isto dá-nos (x + 3) (x - 6).

Encontrar a solução por olhar para as raízes. Se você tem um x em suas raizes, lembre-se que tanto números negativos e positivos satisfazer esta equação.

Solutions é de 3 √ 6.

parte 2

Factoring usando o termo livre

Reorganiza a expressão de modo que é na forma de Ax bx + cx + d +.

Suponha que estamos a trabalhar com a equação: x - 4x - 7x + 10 = 0.

Localizar todos os fatores "d". a constante "d" que será o número que não tem variáveis, tal como "X"Ao lado dela.

Os fatores são números que podem ser multiplicadas em conjunto para obter outro número. No nosso caso, os fatores de 10, ou "d"Elas são: 1, 2, 5, e 10.

É um fator que faz com que o polinômio é zero. Queremos determinar qual fator faz com que o polinômio é igual a zero fator quando substituto para cada "X" na equação.

Vamos começar com o nosso primeiro fator, 1. Vamos substituir o "1" para cada "X" na equação:
(1) - 4 (1) - 7 (1) + 10 = 0.

Isso nos dá: 1-4 a 7 + 10 = 0.

Porque 0 = 0 é uma afirmação verdadeira, sabemos que x = 1 é uma solução.

Faça alguma reorganização. Se x = 1, podemos reorganizar o estado de ser um pouco diferente sem alterar o seu significado.

"X = 1" É o mesmo que "x - 1 = 0" ou "(X - 1)". Temos prejudicou "1" em cada lado da equação.

Fator sua raiz fora do resto da equação. "(X - 1)" É nossa raiz. Vamos ver se podemos incluí-lo o resto da equação. Vamos dar um polinômio de cada vez.

Podemos factor (x - 1) e x? Não você não pode. Nós sabemos que você pode pedir uma -x da segunda variável, então podemos fator: x (x - 1) = x - x.

Podemos factor (x - 1) com o restante de nossa segunda variável? Não, nós não podemos novamente. Temos que pedir emprestado outro bit da terceira variável. Precisamos pedir uma -7X 3x. Isto dá -3x (x - 1) = 3x + 3x.

Como tomamos um 3x -7X, nossa terceira variável é agora -10x e nossa constante é 10. Podemos levar isso? Nós podemos! -10 (X - 1) = + 10 -10x.

O que fizemos foi reorganizar as variáveis para que pudéssemos factor (x - 1) da equação completa. Nossa equação reordenadas parece com isso: x - x - 3x + 3x - 10x + 10 = 0, mas ainda o mesmo que x - 4x - 7x + 10 = 0.

Continua a repor os factores de liberdade de expressão. Olhe para os números que nós factores utilizando a (x - 1) no passo 5:

x (x - 1) - 3x (x - 1) - 10 (x - 1) = 0. Podemos corrigir isso para torná-lo muito mais fácil de levar mais uma vez: (x - 1) (x - 3x - 10) = 0.

Estamos apenas tentando factor (x - 3x - 10) aqui. Isto é consignado em (x + 2) (x - 5).

Suas soluções serão raízes fatorados. Você pode verificar se as soluções trabalho realmente conectar cada um, individualmente, na equação original.

(X - 1) (x + 2) (X - 5) = 0. Isto dá soluções 1, -2 e 5.

-2 Liga a equação: (-2) - 4 (-2) - 7 (-2) + 10 = -8 - 14 + 10 16 + = 0.

Ligado em 5 equação: (5) - 4 (5) - 7 (5) + 10 = 125 - 100 - 35 + 10 = 0.

dicas

O polinômio cúbico é um produto de um polinômio de primeiro grau ou o produto de um polinômio de primeiro grau e de segundo grau polinomial outro sem factoring. Neste último caso, usamos a divisão longa depois de encontrar o primeiro polinomial grau de um polinômio de segundo grau.
Não polinômios cúbicos sem factoring sobre os números reais, porque cada cubo deve ter uma raiz real. Cubos como x ^ 3 + x + 1 tendo uma verdadeira raiz irracional não pode ser tido em conta em polinômios com coeficientes inteiros ou racionais. Embora possa ser tomada com a fórmula cúbica, é irredutível como um polinômio todo.