operações com raízes quadradas resolver

3 partes:Compreender quadrados e raízes quadradas Usando algoritmos em divisões longas Localize aproximação quadrado imperfeito rapidamente

Embora o símbolo da raiz quadrada de aparência complexa, pode assustar ninguém que se depara com um problema matemático, realmente operações raiz quadrada não é tão difícil de resolver como parece à primeira vista. Operações simples com raízes quadradas normalmente pode ser resolvido tão facilmente como uma simples multiplicação ou divisão. A maioria das operações complexas com raízes quadradas, no entanto, exigem um pouco mais de esforço, mas com o método certo, também pode ser facilmente resolvido. Comece agora a praticar resolver operações raízes quadradas para adquirir esta nova habilidade matemática "radical".

parte 1Compreender quadrados e raízes quadradas

Eleva um quadrado perfeito, multiplicando-se por si só. Para entender raízes quadradas, é melhor começar com as praças. Os quadrados são muito simples. Para elevar um número ao quadrado apenas tem que multiplicá-lo por si só. Por exemplo, 3 ao quadrado é igual a 3 x 3 = 9 e 9 ao quadrado é igual a 9 x 9 = 81. Os quadrados são escritos marcação um pequeno "2" cima e para a direita do grande número quadrado, como nestes exemplos: 3, 9, 100 e assim por diante.

Tente quadratura mais alguns números para si mesmo para experimentar com este conceito. Lembre-se que levantar um quadrado perfeito é simplesmente se multiplicar. Eu até posso fazê-lo com números negativos. Se fizer isso, a resposta é sempre positiva. Por exemplo, -8 -8 -8 = × = 64.

Para resolver uma raiz quadrada, você deve encontrar o inverso do quadrado. O símbolo de raiz quadrada (√, também chamado "radical") Basicamente significa o oposto ao símbolo. Quando você vê um radical, você deve se perguntar: "O número pode multiplicar por si para obter o número dentro do radical?". Por exemplo, se você ver √ (9), você deve encontrar esse número, ao quadrado, é igual a nove. Neste caso, a resposta é três, porque 3 = 9.

Para outro exemplo, vamos encontrar a raiz quadrada de 25 (√ (25)). Isto significa que temos de encontrar esse número, que, ao quadrado, é igual a 25. Desde 5 = 5 x 5 = 25, podemos dizer que √ (25) = 5.
Você também pode pensar este processo como "desfazer" um quadrado. Por exemplo, se calcularmos √ (64), a raiz quadrada de 64, começamos a pensar como 64 8. Uma vez que o símbolo de raiz quadrada basicamente anula a praça, pode-se dizer que √ (64) = √ (8 ) = 8.

Saiba a diferença entre quadrado perfeito e imperfeito. Até agora, os resultados das operações com raízes quadradas que temos visto ter sido números redondos. No entanto, isso nem sempre é o caso. Na verdade, as operações com raízes quadradas às vezes pode ter resultados muito longas e decimais. Inteiros (números que não são frações ou decimais) com raízes quadradas, são chamados "quadrados perfeitos". Todos os exemplos mostrados acima (9, 25 e 64) são quadrados perfeitos, porque ao calcular sua raiz quadrada, obtemos números inteiros (3, 5 e 8).

Além disso, os números cujas raízes quadrado não são inteiros são imperfeita quadrado. Ao calcular a raiz quadrada de qualquer um desses números, geralmente você recebe um decimal ou fração. Às vezes, o decimal, resultando bastante complicada operação. Por exemplo, √ (13) = 3,605551275464 ...

Memorize o imperfeito quadrado primeiros 10 ou 12. Como, você provavelmente já viu, você encontrar a raiz quadrada ou quadrados perfeitos pode ser bastante fácil. Uma vez que estas operações são tão simples, vale a pena tomar algum tempo para memorizar as raízes quadradas dos primeiros dez ou doze quadrados perfeitos. No futuro, estes números terá que usar com bastante frequência, por isso levará algum tempo para memorizá-los vai acabar economizando trabalho e tempo no longo prazo. Primeiros doze quadrados perfeitos são:

1 = 1 × 1 = 1
2 = 2 × 2 = 4
3 = 3 x 3 = 9
4 = 4 × 4 = 16
5 = 5 x 5 = 25
6 = 6 × 6 = 36
7 = 7 × 7 = 49
8 = 8 × 8 = 64
9 = 9 x 9 = 81
10 = 10 × 10 = 100
11 = 11 × 11 = 121
12 = 12 x 12 = 144

Simplifica a limpar as raízes quadradas quadrados perfeitos, quando possível. Calcular a raiz quadrada de um quadrado imperfeito, às vezes pode ser difícil, especialmente se você não usar a calculadora (nas seções a seguir, você vai encontrar truques para facilitar este processo). No entanto, muitas vezes é possível simplificar o número dentro de uma raiz quadrada para trabalhar melhor com eles. Para fazer isso, você só tem que quebrar o número que está sob os fatores radicais, calcular a raiz quadrada de todos os fatores que são quadrados perfeitos e escrever o resultado para fora do radical. Isto é mais fácil do que parece. Vá em frente lendo para mais informações!

Suponha que queremos calcular a raiz quadrada de 900. À primeira vista, pode parecer muito difícil. No entanto, se quebrarmos 900 em fatores. o fatores Eles são os números que podem ser multiplicadas em conjunto para obter outro número. Por exemplo, uma vez que você pode obter 6 × 6 e multiplicando 1 2 × 3, os fatores de 6 são 1, 2, 3 e 6.
Em vez de trabalhar com a figura 900, o que seria um pouco estranho e complicado, como escrever 900 9 × 100. Agora, como o 9, que é um quadrado perfeito, é separada a partir do 100, pode-se calcular a raiz quadrada de intervalo. √ (9 x 100) = √ (9) × √ (100) = 3 × √ (100). Em outras palavras, √ (900) = 3√ (100).
Nós podemos simplificar ainda mais estes dois passos, dividindo 100 entre os elementos 25 e 4 √ (100) = √ (25 × 4) = √ (25) × √ (4) = 5 x 2 = 10. Portanto, pode dizer que √ (900) = 3, (10) = 30.

Os números imaginários usado para calcular a raiz quadrada de um número negativo. Pense: que número, multiplicado por si mesmo, é igual a -16? Não é nem 4 ou -4, e que o aumento de qualquer desses números ao quadrado o resultado é positivo (16). Na verdade, não há nenhuma maneira de escrever a raiz quadrada de -16 ou qualquer outro número negativo com números ordinários. Nestes casos, é necessário usar os números imaginários (geralmente sob a forma de letras ou símbolos) em vez do que a raiz quadrada de um número negativo. Por exemplo, muitas vezes você usa a variável "Eu" para representar a raiz quadrada de -1. Geralmente, a raiz quadrada de um número negativo sempre ser ou incluir um número imaginário.

Note-se que, embora os números imaginários não pode ser representada com números comuns podem ser tratados como números normais de muitas maneiras. Por exemplo, a raiz quadrada de um número negativo pode quadratura para obter tal número negativo, como aconteceria com qualquer outra raiz quadrada: i = -1.

parte 2Usando algoritmos em divisões longas

Manifesta a operação de raiz quadrada na forma de divisão longa. Embora este processo pode levar algum tempo, é possível resolver raízes quadradas de quadrado imperfeito e complexa sem usar a calculadora. Para fazer isso, usamos um método de resolução (ou "algoritmo) semelhante, mas não exactamente a mesma, que é usado para calcular uma divisão longa de base.

Comece a escrever o problema com raízes quadradas na forma de divisão longa. Por exemplo, suponha que você queira calcular a raiz quadrada de 6,45, o que obviamente não é um quadrado perfeito. Primeiro, escreva um símbolo radical ordinária (√) e anote o número logo abaixo. Em seguida, desenhar uma linha no número, de modo que ele está bloqueado em um pequeno "box", Como a divisão longa. Uma vez feito isso, teremos um símbolo de raiz quadrada ("√") Com uma cauda longa e uma escrita logo abaixo 6.45.
Mais tarde, teremos de escrever números sobre a operação, por isso certifique-se de deixar espaço suficiente.

Os dígitos agrupados em pares. Para começar a operação de resolver, reúne os dígitos que está sob o sinal do radical em pares, começando com a vírgula ou ponto decimal. Se você quiser, você pode fazer pequenas marcas (pontos, traços, vírgulas, etc.) entre cada par de separar bem.

Continuando o exemplo, nós dividir em pares 6,45 da seguinte forma: 6, 45-00. Note que você ainda deve ser um dígito à esquerda.

Olhar para o maior número cujo quadrado é menor do que ou igual ao primeiro grupo. Comece com o primeiro número ou dois esquerda. Escolha o maior número cujo quadrado é menor do que ou igual ao número de este grupo. Por exemplo, se o grupo foram de 37, você teria que escolher 6 porque 6 = 36 lt; 37 mas 7 = 49 gt; 37. Escrever esse número no primeiro grupo. Este é o primeiro dígito da resposta.

Continuando com o exemplo, o primeiro grupo de 6-, 45-00 é 6. O maior número cujo quadrado é menor do que ou igual a 6, é a 2, desde 2 = 4 (mas 3 ao quadrado é igual a 9). escrever "2" cerca de 6 sob o radical.

Dobra o número que você acabou de digitar e, em seguida, digite-o abaixo e subtrair. Multiplique o primeiro dígito do resultado (o número que você acabou de encontrar) para dois. Escrevê-lo sob o primeiro grupo e réstaselo para encontrar a diferença. Faça o seguinte par de números junto com o resultado da subtracção. Finalmente, insira o último dígito do dobro do primeiro dígito do resultado para a esquerda e deixa espaço à sua direita.

Seguindo o nosso exemplo, começamos calculando duas vezes 2, o primeiro dígito do resultado. 2 × 2 = 4. Em seguida, 04 de junho substraeremos (o primeiro "grupo"), A obtenção de dois resultados. Em seguida, escrever os dígitos do grupo seguinte (45) para a direita, obtendo 245. Finalmente, escrever um outro 4 para a esquerda, deixando um pequeno espaço para a direita, como se segue: 4_.

Preencher o espaço vazio. Em seguida, você deve adicionar um dígito à direita do número digitado para a esquerda. Escolha o maior número multiplicado pelo novo valor é inferior ou igual ao número escrito na direita. Por exemplo, se o número certo era 1700 e o número foi deixado 40_, você deve preencher o espaço em branco com "4"Como 404 × 4 = 1616 lt; 1700, enquanto 405 x 5 = 2025. O número calculado nesta etapa é o segundo dígito do resultado, assim você pode colocá-lo sob o radical.

Seguindo o nosso exemplo, encontramos o número para preencher os espaços vazios que existem nos 4_ _ × para obter o número mais alto pode ser inferior a ou igual a 245. Neste caso, o resultado é 5. 45 x 5 = 225, enquanto 46 × 6 = 276.

Continuar o processo usando números os espaços em branco para completar a resposta. Resolvendo a operação continua com o modificado para calcular a divisão longa até que você começar a ter zeros, subtraindo o número abaixo ou encontrar até obter o resultado desejado com o método de precisão. Quando terminar, os números que preencheram os espaços em branco em cada etapa (mais o primeiro número usado) são os dígitos do resultado final.

Continuando nosso exemplo, subtrair 225 de 245 para obter 20. Em seguida, descemos o próximo par de dígitos, 00, para 2000. No cálculo duas vezes os números sob o radical, teremos 25 × 2 = 50. calcular o número adequado para preencher o vazio no 50_ × _ = / lt; 2.000, obtemos 3. Neste ponto, nós "253" no radical. Ao repetir o processo, temos um 9, que será o próximo dígito.

Move o ponto decimal do "dividendo" Original. Para completar a resposta, você deve colocar um ponto decimal no lugar certo. Felizmente, esta etapa é fácil. Basta colocá-lo até o ponto decimal do número original. Por exemplo, se o número sob o radical foi de 49,8, só você deve colocar a vírgula entre os números que você tem no 9 e 8.

No nosso exemplo, o número sob o radical é 6,45, então você só tem que colocar a vírgula na mesma altura nos números do resultado final, entre 2 e 5, obtendo 2539.

parte 3Localize aproximação quadrado imperfeito rapidamente

Halla imperfeito aproximação quadrado. Uma vez que você tenha memorizado os quadrados perfeitos, encontrar as raízes quadradas de quadrados imperfeita será muito mais fácil. Desde já sabemos uma dúzia de quadrados perfeitos, qualquer número que cai entre dois destes quadrados perfeitos pode ser calculado por estimativa, aproximadamente. Para começar, encontrar os dois quadrados perfeitos entre o seu número for encontrado. Em seguida, determina qual desses dois números é mais próximo ao seu.

Por exemplo, suponha que nós temos que encontrar a raiz quadrada de 40. Como já memorizou os quadrados perfeitos, sabemos que 40 é entre 6 e 7, ou entre 36 e 49. Uma vez que 40 é maior do que 6, sua raiz quadrada é maior do que seis, e uma vez que é inferior a 7, a sua raiz quadrada é inferior a 7. 40 é algo mais próximo de 36 do que 49, por isso, é provável que a resposta é algo mais próximo de 6. nos seguintes passos, vamos abordar um resultado mais preciso.

Calcular a raiz quadrada por tentativa e erro com uma precisão de um décimo. Uma vez que você descobriu os quadrados perfeitos entre os quais está o número, tudo que você tem a tatear figuras até que esteja satisfeito com o valor obtido. Quanto mais longe você for, mais preciso será o resultado. Para começar, escolha um décimo para colocar depois do ponto decimal. A figura escolhida não tem de estar certo, mas você vai economizar tempo se você usar o bom senso procurando uma figura que se aproxima o resultado.

No nosso exemplo, uma aproximação razoável para calcular a raiz quadrada de 40 pode ser 6.4, porque, graças às etapas anteriores, sabemos que o resultado é provável que seja mais perto de 6 7.

Multiplique o número aproximado por si só. Em seguida, calcula o quadrado do número escolhido. A menos que você tiver sorte, pode não obter o número original para o primeiro, mas uma pontuação um pouco maior ou menor. Se o resultado for muito alta figura, tente novamente com um pouco menos (e vice-versa, se é uma figura muito baixa).

Multiplique 6,4 por si só, a obtenção de 6,4 × 6,4 = 40.96, um resultado ligeiramente maior do que o valor original.
Em seguida, visto que o resultado é maior do que o número original, que tentará calcular o quadrado de um número inferior de um décimo do que a utilizada anteriormente, obtendo-se 6,3 × 6,3 = 39,69. Este valor é ligeiramente menor do que o original, o que significa que a raiz quadrada de 40 é em algum ponto 6,4 a 6,3. Além disso, uma vez que está mais perto de 39,69 40-40,96, sabemos que a raiz quadrada de 40 estará mais perto de 6,3 do que de 6,4.

Continua a testar todas as abordagens necessárias. Neste ponto, se você está satisfeito com o resultado, você pode usar uma das primeiras figuras que você groped como um valor aproximado. No entanto, se você quiser obter um resultado mais preciso, você só tem que tatear figuras para o local centésimos, a obtenção de um valor entre as duas primeiras abordagens. Se você seguir este processo, você pode encontrar um resultado com três, quatro ou tantas casas decimais como quiser, dependendo da precisão que você deseja alcançar.

Seguindo o nosso exemplo, vamos escolher 6.33 como um valor aproximado de duas casas decimais. 6,33 multiplicado por si mesmo, ganhando 6,33 × 6,33 = 40,0689. Uma vez que este valor é ligeiramente maior do que o número original, vamos testar com um valor ligeiramente inferior, como 6,32. 6,32 × 6,32 = 39,9424. Este valor é ligeiramente inferior ao número original, por isso sabemos a raiz quadrada exata é entre 6,33 e 6,32. Se quiséssemos, poderíamos continuar com o mesmo processo para obter um resultado cada vez mais precisas.

dicas

Para obter o resultado rapidamente, use a calculadora. A maioria das calculadoras modernas pode rapidamente calcular raízes quadradas. Normalmente, você só tem que digitar o número e pressione o botão com o símbolo de raiz quadrada. Para encontrar a raiz quadrada de 841, por exemplo, você pode pressionar as teclas: 8, 4, 1, (√), a resposta a obtenção de 39.

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