Como para calcular o valor esperado

3 Métodos:

O valor esperado é um conceito usado em estatísticas e é útil para decidir se uma ação é benéfica ou prejudicial. Para calcular o valor esperado, você tem que entender os possíveis resultados de uma situação e a probabilidade de ocorrência. Os passos seguintes irão guiá-lo através de um par de exemplos que vão ensinar o conceito de valor esperado.

método 1Calcular o valor esperado de um problema básico

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Familiarize-se com o problema. Antes de pensar em todos os resultados possíveis e as probabilidades envolvidas, certifique-se de compreender o problema. Por exemplo, imagine que você está prestes a entrar num jogo que envolve a jogar um dado para ganhar dinheiro, dependendo do número serve. Se você rolar um 6, você ganha US $ 30 se você rolar a 5, você ganha US $ 20 e se você pegar qualquer outro número, você ganha nada. Cada movimento com o dado custa R $ 10.

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Liste todos os resultados possíveis. Prepare uma lista de todos os resultados possíveis de uma determinada situação pode ser útil. No exemplo acima, há 6 resultados possíveis: 1) Retire a 1 e perder US $ 10 2) obter a 2 e perdendo US $ 10 3) tirar a 3 e perder US $ 10 4) tirar um 4 e perder US $ 10 5) Remova a 5 de ganhar US $ 10 6) puxar um 6 e ganhe $ 20.

• Por favor note que alguns resultados são mais baixos do que os descritos acima, porque cada jogo custa R $ 10, independentemente do número serve.

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Determina a probabilidade de cada resultado. Neste caso, a probabilidade de cada resultado é o mesmo. Ao rolar os dados 6 faces a probabilidade de obter um número em particular é 1 em 6. Assim, você pode escrever e calcular mais facilmente, use uma calculadora para converter a fração 1/6 no decimal 0,167. Escrever a probabilidade lado de cada resultado, especialmente se você está resolvendo um problema que tem desfechos com diferentes probabilidades.

• Ao dividir 1 em 5 na calculadora, o resultado é ,16666666667. Para calcular mais facilmente, o número se aproxima de 0167. Este número é muito próximo do valor real, então o resultado será muito preciso.
• Se você quer resultados muito precisos e ter uma calculadora com parênteses botão escreve (1/6) em vez de 0,167 para resolver as fórmulas descritas abaixo.

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Grava o valor de cada resultado. Multiplique o valor monetário de cada resultado pela probabilidade de que o evento ocorre para descobrir quanto dinheiro ela traz para o valor esperado. Por exemplo, o resultado de rolar um 1 é - US $ 10 e a probabilidade de ocorrência é 0,167. Portanto, o valor de um rolamento 1 é (-10) * (0,167).

• Você não tem que calcular estes resultados, mesmo se você tem uma calculadora que pode executar várias operações em simultâneo. Você vai ter um mais preciso, se você resolver a calculadora equação completa explicou resposta mais tarde.

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Adiciona os valores de cada resultado de calcular o valor esperado do evento. Continuando o exemplo acima, o valor esperado de excrementos é: (-10 * 0,167) + (-10 * 0,167) + (-10 * 0,167) + (-10 * 0,167) + (10 * 0,167) + ( 20 * 0,167) = - $ 1,67. Portanto, quando se joga com os dados que você pode esperar para perder US $ 1,67 em cada jogo.

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Ele entende as implicações do cálculo do valor esperado. No exemplo acima, concluiu-se que o valor esperado de cada movimento era - $ 1,67, o que é um resultado impossível para este jogo, porque você pode perder US $ 10, ganhar US $ 10 ou ganhar $ 20. No entanto, o valor esperado é útil como um valor médio a longo prazo. Se você jogar com dados várias vezes, você vai perder cerca de US $ 1,67, em média, para cada movimento. Outra maneira de pensar sobre o valor esperado do jogo é para atribuir um custo (ou benefício) particular. Para este exemplo, você pode decidir se vale a pena pagar US $ 1,67 para cada jogo apenas por diversão.

• Quanto mais vezes você repetir a situação, o resultado médio será mais perto do valor esperado. Por exemplo, se você jogar cinco vezes e não ganha, você perde em média US $ 10. No entanto, se você jogar 1.000 vezes ou mais, o resultado médio é muito próximo ao valor esperado de - $ 1,67 por peça. Este princípio é conhecido como "a lei dos grandes números".

método 2Calcule o tempo que você tem que jogar uma moeda para alcançar um resultado específico

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Aplicar este método para determinar o número médio de vezes que você tem que jogar uma moeda a cair em um padrão específico. Por exemplo, você pode usar este método para calcular o valor esperado do tempo que você tem que jogar uma moeda a cair no rosto duas vezes consecutivas. Este problema é um pouco mais difícil de calcular o valor esperado de um problema básico, então leia a seção anterior, se você não se sentir confortável (a) com os valores esperados.

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Dá vontade de encontrar a resposta para um mistério. Imagine que você está indo para descobrir quantas vezes, em média, tem que jogar uma moeda a cair no rosto duas vezes. Neste caso, você pode usar uma equação para calcular o valor esperado. A resposta (o número médio de vezes que você tem que jogar uma moeda) será chamado "X" e a equação será formada ao longo do artigo. No momento, isso é o que você tem disponível:

• X = ___

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Pense o que aconteceria se a primeira vez que você iniciar a moeda cai no selo. Quando você tenta pela primeira vez, a moeda vai cair pela metade carimbo do tempo. Isto significa que "cintura" um passo, uma vez que a probabilidade de que a moeda cai duas vezes seguidas no rosto não muda em nada. Como no início, você deve esperar para lançar um número médio de vezes adicionais antes de fazer o pouso moeda no rosto duas vezes consecutivas. Em outras palavras, você tem que esperar para lançar "X" vezes mais o tempo você joga. Em termos de uma equação, "em metade dos casos, você tem que jogar a moeda "X" vezes 1"Então agora a equação será parecido com este:

• X = (0,5) (x + 1) + ___
• O branco será preenchido, enquanto outros cenários aparecer.
• Se parece mais fácil, você pode usar frações em vez de casas decimais. 0,5 é o mesmo que 1/2.

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Pense o que aconteceria se a moeda cai rosto no primeiro arremesso. Há uma probabilidade de 0.5 (ou 1/2) que a primeira vez que você joga a moeda vai pousar no rosto. Este parece ser mais perto de seu objetivo de tornar a moeda desembarque no rosto duas vezes seguidas, mas o quão perto você está realmente? A maneira mais fácil de descobrir é pensar nos possíveis resultados para o segundo tempo define a moeda:

• Se a segunda vez que você lançar a moeda cai no selo, você vai perder dois tiros e vai voltar em primeiro lugar.
• Se a segunda vez que também define a moeda der cara, Você começa o seu objetivo!

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Aprenda a calcular a probabilidade de que dois eventos ocorrem. Agora você sabe que cada vez que você jogar a moeda tem uma probabilidade de 0,5 de cair na cara, mas o que é a probabilidade de que a moeda vai pousar dois por vezes, seguido na minha cara? Para encontrar a probabilidade de que dois eventos ocorrem, multiplicar as probabilidades individuais de cada evento, que neste caso são: 0,5 x 0,5 = 0,25. Esta é também a probabilidade de que a moeda irá pousar na face e, em seguida, selar, porque ambos os eventos tem uma probabilidade de 0,5 de ocorrência (0,5 x 0,5 = 0,25).

• Se você não tem certeza de como você pode multiplicar 0,5 x 0,5, leia esta guia.

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Adicionar à equação o caso em que a moeda irá pousar em "enfrentar e, em seguida, selar". Agora que você sabe a probabilidade de isso acontecer, você pode estender a equação. Há uma probabilidade de 0,25 (ou 1/4) para desperdiçar dois arremessos sem atingir seu objetivo. Seguindo a mesma lógica como antes, quando imaginou o que aconteceria se a primeira vez que você iniciar a moeda cai sobre selo, você ainda tem que jogar a moeda "X" vezes mais, em média, para obter o resultado desejado, além dos dois campos que desperdiçados. Em termos de uma equação que significa: (0,25) (x + 2), que pode adicionar o seguinte:

• X = (0,5) (x + 1) + (0,25) (x + 2) + ___

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Adicionar à equação o caso em que a moeda cai "duas vezes seguidas no lado". Se você jogar a moeda duas vezes e ambas rosto cai, você obter o seu objetivo em dois lances precisos. Como você descobriu anteriormente, existe uma probabilidade de 0,25 de isso acontecer, o que, em termos de uma equação significa: (0,25) (2). Adicionar a última parte da equação para completar:

• X = (0,5) (x + 1) + (0,25) (x + 2) + (0.25) (2).
• Existe uma maneira fácil de verificar se a equação é completa se você não sabe com certeza se você pensou em todos os eventos possíveis. A primeira edição de cada "parte" da equação representa a probabilidade de um determinado evento acontecer e se você somar todo o resultado deve ser 1. Neste caso, os números são 0,5 + 0,25 + 0,25 = 1, assim você pode ter certeza de que cobriu todos os eventos possíveis.

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Simplificar a equação. Multiplicar figuras para simplificar a equação. Não se esqueça que se você vê os suportes definido desta maneira: (0,5) (x + 1), você multiplicar 0,5 por cada termo no segundo suporte para calcular: 0,5x + (0,5) (1) ou 0,5x + 0,5. Repita o mesmo processo com os outros termos e, em seguida, combiná-los para simplificar a equação:

• X = 0,5x + (0,5) (1) + 0,25x + (0.25) (2) + (0.25) (2)
• X = 0,5x + 0,5 + 0,5 + 0,5 + 0,25x
• X = 0,75x + 1,5

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Resolver o mistério. Como qualquer outra equação, ao tentar encontrar o valor de "X" você tem que colocar de lado o problema. Não se esqueça que "X" meios "o número médio de vezes que você tem que jogar uma moeda a cair no rosto duas vezes consecutivamente". Quando você descobre o valor de "X"Você vai obter a resposta.

• X = 0,75x + 1,5
• x - 0,75x 0,75x + 1,5 = - 0,75x
• 0,25x = 1,5
• (0,25x) / (0,25) = (1,5) / (0,25)
• x = 6
• Em média, você tem que jogar a moeda seis vezes para cair no rosto duas vezes.

método 3Compreende os conceitos

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Compreender o conceito de valor esperado. O valor esperado não é necessariamente o resultado mais provável de uma situação. Afinal, em alguns casos, o valor esperado é um resultado impossível, tais como US $ 5 para um jogo que tem um prêmio de US $ 10. Com o valor esperado pode atribuir um valor a um evento. Se um jogo tem um valor esperado de US $ 5, você deve jogar se você acha que vale a pena gastar tempo e esforço para ganhar US $ 5. Se outro jogo tem um valor esperado - US $ 20, você deve jogar somente se você acha que vale a pena pagar US $ 20 para diversão.

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Compreender o conceito de eventos independentes. Na vida cotidiana, muitas pessoas acreditam que eles têm um dia de sorte, se algumas coisas boas acontecem e podem esperar por esse dia para manter as coisas boas acontecendo. Também é possível que as pessoas acreditam que eles tinham muito má sorte por um dia e mais coisas ruins não vai acontecer por um tempo. No entanto, a partir de um ponto de vista matemático, os eventos não funcionam dessa maneira. Se você jogar uma moeda comum sempre que você tem uma probabilidade exata de 1/2 que caem na cara ou coroa. Não importa se você jogou a moeda 20 vezes antes e todos eles caíram da face do selo ou com resultados diferentes, uma vez que as chances de o próximo lançamento não vai mudar. O sorteio é "independente" e que não é afectado pelas outras localizações.

• A crença de ter uma série de boa ou má sorte, jogando moedas (ou outros eventos independentes e aleatórios) ou que os bons resultados vão aparecer quando "usar todo o azar" É conhecida como a falácia do jogador. Este nome vem da tendência das pessoas para fazer apostas arriscadas ou tolo se eles sentem que têm uma "raia afortunada" ou acreditam que a sua "sorte está prestes a mudar".

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Entenda a lei dos grandes números. Você pode pensar que o valor esperado é útil porque raramente prediz o resultado terá uma situação. Por exemplo, se você determinou que o resultado esperado de um jogo de roleta é - US $ 1 e jogar três vezes, muitas vezes você acaba com - US $ 10, US $ 60 ou outro resultado. o "lei dos grandes números" ajuda a mostrar o valor esperado por isso que é mais útil do que você pensa: quanto mais vezes você jogar, você vai estar mais perto do valor esperado (resultado médio). Se você olhar para um grande número de eventos, é possível que o resultado global é próximo do valor esperado.

dicas

• Para situações com diversos resultados possíveis, você pode criar uma planilha no computador para determinar o valor esperado de tais eventos e suas probabilidades.
• Os cálculos de trabalho dos anos anteriores com qualquer moeda.

Coisas que você precisa

• lápis
• papel
• calculadora