Como para calcular o tempo de duplicação

2 métodos:

Calcule o tempo de duplicação com a regra 70Interpretar a fórmula "regra 70"

As populações de bactérias, o dinheiro investido a uma taxa de juro garantida, a população de certas cidades, todas estas variáveis ​​tendem a crescer exponencialmente. Isto significa que a maior eles são, o mais rapidamente crescem. Com um "tempo de duplicação" rapidamente (tempo de duplicação é o tempo que leva para crescer esses valores), mesmo uma quantidade extremamente pequena pode se tornar grande. Saiba como encontrar esse valor usando um rápido e fácil ou aprender em profundidade o que a fórmula matemática por trás deste conceito.

método 1Calcule o tempo de duplicação com a regra 70

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Verifique se a taxa de crescimento é pequeno o suficiente para usar este método. O tempo de duplicação é um conceito que é utilizado para os montantes que crescem exponencialmente. Os exemplos mais comuns são as taxas de juros e o crescimento de uma população. Se a taxa de crescimento é (aproximadamente) a menos de 0,15 por o intervalo de tempo pode ser usada para calcular este método rápido uma boa estimativa. Se o problema não lhe dá a taxa de crescimento, você pode encontrar o cálculo: ${ Displaystyle { frac {CantidadActual-CantidadAnterior CantidadAnterior} {}}}$.

• Exemplo 1: a população de uma ilha cresce a uma taxa exponencial. De 2015-2016, o aumento da população de 20.000 a 22.800. Qual é a taxa de crescimento da população?

• 22800-20000 = 2.800 novos habitantes. 20000 ÷ 2800 = 0,14. Portanto, a população está crescendo a uma taxa de 0,14 por ano. Como esse número é pequeno o suficiente, essa estimativa será bastante precisa.

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Multiplicar a taxa de crescimento por 100 a expressá-lo como uma percentagem. Para a maioria das pessoas, as percentagens são muito mais intuitivo do que números decimais.

• Exemplo 1 (continuação): a ilha tinha uma taxa de crescimento de 0,14 expresso em decimais. isto representa ${ Displaystyle { frac {0,14} {1}}}$.Multiplique o numerador eo denominador por 100 para obter ${ Displaystyle { frac {0,14} {1}} x { frac {100} {100}} = { frac {14} {100}}} =$14% ao ano.

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Dividir a percentagem da taxa de crescimento de 70. A resposta será o número de intervalos de tempo que levará para dobrar essa quantidade. Certifique-se de expressar a taxa de crescimento em percentagem de preferência como um valor decimal, caso contrário, a resposta será errado (se você está curioso sobre como funciona este "regra 70", Leia a próxima seção, o que explica mais detalhes).

• Exemplo 1 (continuação): a taxa de crescimento foi de 14%, de modo que o número requerido de intervalos é ${ Displaystyle { frac {70} {14}} = 5}$.

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Converte a resposta na unidade de tempo desejada. Na maioria dos casos, você tem a resposta expressa em termos de anos, segundos ou qualquer outra medida adequada. No entanto, se você mediu a taxa de crescimento ao longo de um período mais longo, você deve multiplicar a resposta para expressá-lo em unidades de tempo individual.

• Exemplo 1 (continuação): Neste caso, como a taxa de crescimento foi medido ao longo de um ano, cada intervalo de tempo é de um ano. A população da ilha dobra a cada 5 anos.
• Exemplo 2: há uma segunda ilha perto do anterior, mas está infestado de aranhas e isso não é tão popular. Esta ilha também cresceu de 20.000 para 22.800, mas levou 20 anos para fazê-lo. Assumindo que a taxa de crescimento é exponencial, que é o tempo de duplicação da população?

• Esta ilha tinha uma taxa de crescimento de 14% ao longo de 20 anos. o "regra 70" Ele também indica que pegue a 5 vezes o intervalo de dobrar, mas neste caso cada intervalo é de 20 anos. (5 vezes o intervalo) x (20 /_{intervalo de tempo}) = 100 anos. A população da ilha infestada de aranhas levar 100 anos para dobrar.

método 2Interpretar a fórmula "regra 70"

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Ele compreende a fórmula de crescimento exponencial. Se você começar com um montante inicial ${ Displaystyle a_ {0}}$crescendo exponencialmente, o montante final ${ Displaystyle A_ {f}}$É descrito pela fórmula ${ Displaystyle A_ A_ {f} = {0} (1 + r) ^ {t}}$.a variável r Representa a taxa de crescimento por período de tempo (como um valor decimal) e t é o número de períodos.

• Para esta fórmula faz sentido, imaginar que você fazer um investimento de US $ 100 a uma taxa de juro anual de 0,02. Toda vez que você calcular o crescimento, multiplique o valor que você tem por 1,02. Depois de um ano, você ($ 100) (1,02), após dois anos (US $ 100) (1,02) (1,02) e assim por diante. Isto simplifica ${ Displaystyle (1,02) ^ {t}}$onde t é o número de períodos.
• Nota: Se r e t Eles não usam a mesma unidade de tempo, use a fórmula ${ Displaystyle A_ A_ {f} = {0} (1 + { frac {r} {n}}) ^ {nt}}$onde n é o número de vezes que é calculada período de crescimento. Por exemplo, se r = 0,05 por mês e t = 4 anos, usado n = 12, uma vez que um ano tem 12 meses.

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Reescrever esta fórmula para o crescimento continuado. Na maioria das situações do mundo real, uma quantidade cresce "continuamente" em vez de apenas a intervalos regulares. Neste caso, a fórmula é o crescimento ${ Displaystyle A_ A_ {f} = {0} (e) ^ {rt}}$,utilizando a constante matemática e.

• Esta fórmula é frequentemente usado para obter uma aproximação do crescimento da população e sempre usado para calcular a composição contínua. Em situações em que o crescimento é calculada através de intervalos regulares, por exemplo, o interesse composto anual, a fórmula acima é mais preciso.
• Você pode deduzir essa fórmula de cima usando operações de cálculo.

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Substitui valores duplicados para a população. Quando a população dobra, o montante final ${ Displaystyle A_ {f}}$igual a duas vezes o valor inicial ou ${ Displaystyle 2A_ {0}}$.Substitua os valores na fórmula e elimina todos os termos de um usando operações algébricas:

• ${ DisplayStyle 2A_ {0} = A_ {0} (e) ^ rt {}}$
• Dividir ambos os lados por ${ Displaystyle a_ {0}}$
• ${ Displaystyle 2 = e ^ {rt}}$

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Reorganizar a fórmula para encontrar o valor de t. Se você ainda não aprendeu a usar logaritmos, você pode não saber como remover o t fora do expoente. O fim ${ DisplayStyle log_ {m} (n)}$meios "o valor deve ser levantada m para obter n". Uma vez que a constante e parece muito frequentemente em situações reais, existe um termo especial chamado "logaritmo natural", Abreviado como "ln" que significa ${ Displaystyle {e}} log_$.Usá-lo para isolar t de um lado da equação:

• ${ Displaystyle 2 = e ^ {rt}}$
• ${ DisplayStyle ln (2) = ln (e ^ rt {})}$
• ${ Displaystyle ln (2) = rt}$
• ${ Displaystyle { frac {ln (2)} {r}} = t}$

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Substitua a taxa de crescimento e resolver a equação. Agora você pode resolver a equação para encontrar o valor de t entrar a taxa de crescimento r decimal na fórmula. Note-se que LN (2) é aproximadamente igual a 0,69. Depois de converter o formato de porcentagem decimal taxa de crescimento, você pode arredondar esse valor e obter a fórmula "regra 70".

• Agora que você sabe esta fórmula, você pode ajustá-lo para resolver problemas semelhantes. Por exemplo, para encontrar o "tempo triplicando" através da fórmula ${ Displaystyle t_ {} = {triple frac {ln (3)} {r}}}$.

dicas

• Alguns investimentos financeiros flutuar para cima e para baixo em vez de crescer a uma taxa constante. Para comparar estes valores com outras opções, os investidores usam a fórmula da taxa de crescimento anual composta (CAGR): ${ Displaystyle ({ frac {A_ {f}} {A_ {0}}}) ^ { frac {1} {t}} - 1}$.A resposta indica que a taxa de crescimento seria, se o crescimento eram constantes. Note-se que esta taxa de crescimento é expressa em valores decimais.
• Se o crescimento ocorre a uma taxa constante, independentemente do tamanho total (por exemplo, "5 pessoas por ano"), Não usar o método acima. Este padrão de crescimento linear é calculado como ${ Displaystyle A_ A_ {t} = {0} + rt}$onde ${ Displaystyle A_ {t}}$é o valor no momento t, ${ Displaystyle a_ {0}}$é a quantidade de tempo 0 e r É a taxa de crescimento constante, e t é o tempo decorrido. Em taxas de crescimento constantes não há tempo de duplicação, mas você também pode resolver o problema da duplicação do tempo se você considerar um momento específico no tempo. Definida igual a ${ Displaystyle 2A_ {0}}$e resolvê-lo para encontrar o valor de t. A resposta só será válido para esse valor específico ${ Displaystyle a_ {0}}$.

avisos

• Alguns guias usar fórmula 0,7 ÷ crescimento. Essa fórmula deve usá-lo somente quando a taxa de crescimento é expressa em decimais. Tenha cuidado para não confundir com a fórmula acima (70 ÷ taxa de crescimento expresso em percentagem). Caso contrário, sua resposta é incorreta (será multiplicado por 100).