Como para determinar se uma série infinita é convergente

série infinita pode ser esmagadora e complicado, porque eles são difíceis de visualizar. É muito difícil ver com uma simples inspeção se uma série é convergente ou alguns séculos atrás teria levado horas para resolver um único teste pergunta. Mas agora, graças a matemáticos brilhantes, temos critérios de convergência para determinar se uma série converge ou não, que é muito útil. Estes testes são usados para encontrar se uma série é convergente ou divergente, não para calcular a soma. Também certifique-se que você tem um conhecimento razoável de cálculo.

Conteúdo

Passos
Dicas
Avisos

passos

Fazer o primeiro teste básico. Há um teorema clara afirma que, se a soma para o infinito de uma função f converge, então o limite da função f é 0. Por exemplo, digamos que temos a função de x ^ 2 não se limita, portanto, a soma de infinitos diverge. No entanto, a função de 1 / x, o limite é 0, por isso temos de continuar. Se o limite não é igual a zero, em seguida, imediatamente sabemos que a série é divergente. NOTA: O inverso não é verdadeiro: se o limite é zero, isto não implica que a série é convergente. Precisamos fazer mais testes.

Pesquisar série geométrica. Esta é uma forma muito clara e fácil de localizar teorema, então você deve sempre procurar. Uma série geométrica é uma soma infinita, em que a fórmula é ^ r k, onde k é variável e R é maior do que 1 e menor do que 1. A série geométrica ser sempre convergentes. Além disso, pode ainda calcular a soma da série com a fórmula 1 / (1-R).

Pesquisa p-série. O p-série são somatórios de funções com a forma 1 / (x ^ p), onde x é qualquer número. O teorema indica que, se P é maior do que um, então a série é convergente e se p for menor do que ou igual a um, então a série é divergente. Isto significa que no primeiro exemplo, 1 / x diverge- como 1 / (^ x 1), e, neste caso, p = 1. Isso é chamado de série harmônica. 1 / (X ^ 2) converge porque 2 é maior do que 1.

E se nenhum dos testes acima funcionam. Se um teste for inconclusivo ou acaba por ser irrelevante, tente usar um outro teste, como os critérios de convergência. Nem sempre é óbvio com o qual para testar prática de primeira que você vai tomar melhores decisões, mas não há nenhum método estabelecido para determinar qual abordagem escolher.

critérios de comparação directos ( "teste de comparação"). Vamos supor que você tem duas séries de termos positivos: a (n) e b (n). Assim I), se a soma infinita de b (n) converge e (n) é inferior a b (n) (para um n suficientemente grande), então a soma de a (N) também converge. ii) Se b (n) diverge e (n) gt; b (n), então um (N) também diverge. Exemplo, suponha que temos a série 2 / x- podemos comparar isso com 1 / x. Como sabemos que 1 / x é divergente, e porque 2 / x gt; 1 / x, segue-se que 2 / X também diverge. Em seguida, o método básico é a utilização de um padrão conhecido para determinar se a série desconhecido é convergente ou divergente.

critério de comparação pela passagem ao limite da razão ( "limitar teste de comparação"). Se um (N) e b (n) são uma série de termos positivos e o limite de um (n) / b (n) existe e é maior que 0, então ambas as séries convergem ou ambas as séries serão divergentes. Mais uma vez, que requer o uso de uma série conhecida. O método geralmente envolve a escolha de uma segunda série cujo poder maior é igual ao maior poder da série que nos foi dado. Por exemplo, se você nos dá o número 1 / (x ^ 3 + 2x + 1), então é razoável para o comparar com 1 / (x ^ 3).

Critério do integral ( "teste global") de Cauchy. Assume-se que uma função é positiva, contínua e diminuindo para x maiores do que ou iguais a um. Então, a série infinita f (n) é convergente se: o integral de 1 a infinito de f (x) existe-por outro lado, vai ser divergentes se a integral não existe. Então, basicamente, ele integra a função e calcula o limite até ao infinito. Se não é, em seguida, a série é convergente se não existe, então a série é divergente.

Alternando teste da série ( "teste da série alternada"). Se a (k) gt; gt um (k + 1); 0 para um valor k grande o suficiente, e o limite de um (n) é 0, então a série alternada (-1) ^ na (n) é convergente . Coloque mais facilmente se você tem uma série alternada (uma série em que cada termo muda de sinal), em seguida, remove a parte alternada da função e calcula o limite do que resta. Se existe o limite, então a série é convergente.

teste de razão, teste de razão ou critério da razão ( "teste da razão"). Dada uma série infinita (n), você vai encontrar um (n + 1), o termo geral para o próximo mandato na série. Em seguida, calculada (N + 1) / A (n), usando um módulo de continuidade se necessário. Calcular o limite de um (n + 1) / a (n) - se o limite existe, isso pode significar uma de três coisas. 1) Se o limite for menor do que um, então a série é convergente. 2) Se o limite for maior do que um, então a série é divergente. 3) Se o limite é igual a um, então o teste é inconclusivo e não é possível estabelecer qualquer coisa sobre a convergência da série.

Estes são os principais critérios de convergência e são extremamente úteis. Se nenhum desses funcionar, é provável que o problema é insolúvel ou que você tenha cometido um erro. Esses critérios podem ser aplicados a mais coisas como séries de potências, séries de Taylor e muitos outros. É muito útil saber esses critérios, porque não há realmente uma maneira mais simples para determinar se ou não a convergência.