Como calcular as probabilidades de vários dados

4: Métodosenumeraçãorecursãofunções geradorasaproximação contínua

Muitas pessoas acreditam que se você jogar três dados de seis lados são igualmente provável, portanto, que a soma é de três e que é dez. No entanto, isso não é assim e este artigo irá mostrar-lhe como calcular a média eo desvio padrão de um conjunto de dados.

Aprender a terminologia da mecânica de dados. Normalmente, os dados utilizados são do tipo que tem 6 lados, mas também é comum encontrar dados variedades d2 (moedas), D4 (pirâmides 3 lados), D8 (octaedro), d10 (decaedro), d12 ( dodecaedro) e d20 (icosaedro). Um lance de dados usa o seguinte formato: (número de dados) (abreviado como ID), de modo que seria um lanço 2d6 dice dois de seis lados. Neste artigo, algumas fórmulas assumir que n = Número de dados idênticos e r = Número de lados de cada morrer, numeradas de 1 a r, e k é o valor de combinação. Existem vários métodos para calcular a probabilidade de cada soma.

método 1enumeração

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Grave o número de dados, os lados e a quantidade desejada.

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Lista todas as maneiras de obter essa quantidade. Isto pode ser entediante para uma grande quantidade de dados, mas este é um método relativamente simples. Isto é equivalente a encontrar todas as combinações de k dividido por N exacta e que nenhum deles é maior do que combinações r. um exemplo com n = 5 é mostrado na figura, R = K = 6 e 12. Para garantir que a contagem é abrangente e, ao mesmo tempo que qualquer combinação aparece repetidamente, as combinações são apresentados em uma ordem lexicográfica, e dado em cada combinação são classificados em ordem crescente.

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Nem todas as combinações a partir da lista na etapa anterior são igualmente prováveis. Por esta razão, você deve anotá-las em uma lista e não apenas contá-los. Um menor 3 determinado exemplo, a combinação de 123 cobre 6 possibilidades (123, 132, 213, 231, 312, 321), enquanto a combinação 114 abrange apenas três (114, 141, 411 e 222) tem apenas uma possibilidade. Utilizar a fórmula multinominal para calcular o número de maneiras para permutar os dígitos de cada combinação. Esta informação está sobre a mesa na seção anterior.

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Somar o número total de maneiras de obter o número desejado.

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Dividir o número total de resultados. Como cada dado tem lados r possível- isso é feito simplesmente como r.

método 2recursão

Este método fornece a probabilidade de tudo somas para tudo os números dos dados. Ele pode ser facilmente implementado em uma planilha.

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   Grave a probabilidade de os resultados de uma única matriz. Anote-as numa folha de cálculo. O exemplo usa um 6-sided dice. linhas em branco de montantes negativos são considerados como zeros e isso permite que você use a mesma fórmula para todas as linhas.

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   Na coluna 2 dados, utilizando a fórmula apresentada na imagem. Isto indica que a probabilidade de que dois dados que acrescentam qualquer valor de k é igual à soma dos eventos mostrados abaixo. Para valores de k muito baixo ou muito elevado, é possível que alguns ou todos os termos resultantes de zero, mas a fórmula é válida para todos os valores de k.

3. A primeira amostra dada k-1 e a segunda amostra 1.
4. A primeira amostra dada k-2 e da segunda amostra 2.
5. A primeira amostra dada k-3 e a segunda amostra 3.
6. A primeira amostra dada k-4 e a segunda amostra 4.
7. A primeira amostra dada k-5 e da segunda amostra 5.
8. A primeira amostra dada k-6 e a segunda amostra 6.

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Da mesma forma, três dados ou mais, a mesma fórmula é usada utilizando probabilidades, agora conhecido, dos valores obtidos com um dado menos. Assim, a fórmula inserida na etapa dois para baixo e também pode ser concluída largura até que a tabela contém tanta informação quanto necessário.

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A planilha mostra o cálculo para o "número de maneiras" e não "provável", mas a conversão entre eles é fácil: probabilidade = número de formas / r ^ n em que o símbolo r representa o número de lados de cada matriz e n é o número de dados. Alternativamente, você pode alterar a folha de cálculo para calcular a probabilidade diretamente.

método 3funções geradoras

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Faça o polinômio (1 / r) (x + x + x). Esta é a função de geração de uma única matriz. O coeficiente do termo x é a probabilidade de que a exibição k dada.

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O aumento deste para o polinômio de grau Nth para a função geradora para a soma obtida com N DICE. Isto significa que o cálculo (1 / R) (x + x + x). Se n for maior do que cerca de 2, então será conveniente fazer isso em um computador.

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Em termos de computador, este é o equivalente ao método acima referido, mas às vezes é mais fácil de obter resultados teóricos utilizando um gerador de função. Por exemplo, jogar dois dados de 6 lados normais tem exatamente a mesma distribuição dos montantes que uma determinada cujos rostos ter escrito os números (1, 2, 2, 3, 3, 4) e outros morrem com números (1, 3 , 4, 5, 6, 8). Isto é porque (x + x + x + x + x + x) (x + x + x + x + x + x) = (x + x + x + x + x + x) (x + x + x + x + x + x).

método 4aproximação contínua

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Quando um grande número de dados utilizado, o cálculo exacto usando os métodos acima podem ser difíceis. O teorema de limite central estabelece que a soma de uma determinada quantidade de dados idênticos se aproxima da distribuição normal com o aumento da quantidade dos mesmos.

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Calcule a média eo desvio-padrão com base na quantidade e tipo de dados. Considerando dados numerados de 1 a r, as fórmulas seguintes são utilizados.

• A média é (r + 1) / 2.
• A variância é n (r ^ 2-1) / 12.
• O desvio padrão é a raiz quadrada da variância.

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Use a distribuição normal com média e desvio padrão que aparecem na imagem como uma aproximação para a soma dos dados.

avisos

• Utilize um conjunto com mais de um tipo de dado faz com que esses métodos complicados. Neste caso, o método mais simples para determinar a probabilidade é geralmente enumerar todos os possíveis resultados e classificar em ordem crescente de acordo com a sua total.